1. gyakorlat

Kombinatorika (ismétlés)

Kombinatorika

n db különböző elem egy sorrendje.

Lehetőségek száma: \(n!\)

factorial(n)

n db elem egy sorrendje, ahol az egyforma elemeket nem különböztetjük meg. Az n elem között lehet \(k_1, \dots, k_r \;\) db egyező.

Lehetőségek száma: \(\dfrac{n!}{k_1! \,\cdot\, \dots \,\cdot\, k_r!}\)

factorial(n) / prod(factorial(c(k1, k2, ...)))

n db különböző elem közül kiválasztott valamely k számú \((k \leq n)\) elem egy sorrendje. (Nincs visszatevés.)

Lehetőségek száma: \(\dfrac{n!}{(n - k)!}\)

factorial(n) / factorial(n - k)

n db különböző elem közül visszatevéses eljárással kiválasztott valamely k számú \((k \leq n)\) elem egy sorrendje.

Lehetőségek száma: \(n^k\)

n^k

n db különböző elem közül k számú \((k \leq n)\) elem egyszerre történő kiválasztása. (A sorrend nem számít, nincs visszatevés).

Lehetőségek száma: \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\)

choose(n, k)

n db különböző elemből visszatevéses eljárással k számú \((k \leq n)\) elem kiválasztása (sorrend nem számít).

Lehetőségek száma: \(\dbinom{n+k-1}{k}\)

choose(n + k - 1, k)

\(\Omega\): Minta- vagy alaphalmaz
- nem üres halmaz
- Tartalmazza az összes lehetséges kimenetelt egy adott véletlen kísérletben
\(\mathcal{A}\): eseménytér
- Az \(\Omega\) halmaz részhalmazainak egy \(\sigma\)-algebrája
- Sigma algebra wiki
\(P\): Valószínűségfüggvény
- Egy függvény, amely minden eseményhez egy \([0,1]\) közötti valós számot rendel

Valószínűségfüggvény axiómák

Normalizáció: \(P(\Omega) = 1\)
- A teljes eseménytér valószínűsége 1
Nemnegativitás: \(\forall A \in \mathcal{A}: \; P(A) \geq 1\)
- Minden esemény valószínűsége nemnegatív
Additivitás: Ha az \(A_1, A_2, A_3, \dots\) események páronként kizáróak (diszjunktak), akkor: \(P \left(\bigcup \limits_{i=1}^{\infin} \, A_i \right) = \sum \limits_{i=1}^{\infin} P(A_i)\)

Az A esemény valószínűsége megadható úgy, hogy

\(P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{\text{kedvező}}{\text{összes}}\)

Házi: