Kihagyás

2. gyakorlat

Események függetlensége, Bayes-tétel, Valószínűségi változók

Elmélet

Esemény

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

Megkülönböztetünk elemi eseményeket, ilyen például, hogy egy dobókockával 1-est dobunk. Vannak azonban olyan események is amik több elemi eseményből épülnek fel, ilyen például az, hogy párosat dobunk.

Az eseményeket az ABC nagybetűivel jelöljük.

Esemény függetlensége

Az \(A\) és \(B\) eseményt egymástól függetlennek nevezzük, ha teljesül rájuk, hogy

\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

(Másik irányba ez nem igaz.)

Kizáró események

Az \(A\) és \(B\) eseményt kizárónak nevezünk, ha

\(A \cap B = \empty\)

Feltételes valószínűség

  • Legyenek \(A\) és \(B\) események
  • A \(B\) esemény biztosan bekövetkezik szóval \(P(B) > 0\)

Az \(A\) esemény valószínűsége, ha tudjuk, hogy a \(B\) esemény biztosan bekövetkezik:

\(P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Érdemes észrevenni, hogy ha \(A\) és \(B\) függetlenek, akkor \(P(A|B) = P(A)\)

Műveletek eseményekkel

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)−P(A \cap B)\)

\(P(A \cap B)=P(A)+P(B)−P(A \cup B)\)

\(P(A∖B)=P(A)−P(A \cap B)\)

\(P(\overline{A})=1−P(A)\)

Teljes eseményrendszer (TER)

A \(B_1, B_2, \dots\) események TER-t alkotnak, ha

  • Egyik sem lehetelen
  • Az események páronként kizárják egymást
  • Együtt kiadják a teljes eseményteret

Teljes valószínűség tétele (TVSZ)

  • Legyen \(B_1, B_2, \dots \;\) egy teljese eseményrendszer
  • \(A\) egy tetszőleges esemény

\(P(A) = \sum \limits_i P(A | B_i) \,\cdot\, P(B_i)\)

Bayes-tétel

  • Legyen \(B_1, B_2, \dots \;\) egy teljese eseményrendszer
  • \(A\) egy tetszőleges esemény
  • Tudjuk, hogy az A bekövetkezett, de az érdekel minket, hogy mi miatt.

\(P(B_k) = \dfrac{P(A | B_k) \,\cdot\, P(B_k)}{P(A)}\)

Feladatok

2.1

Mekkora a valószínűsége annak, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, feltéve, hogy tudjuk, hogy legalább az egyik dobás 6-os?

A = mindkettő 6-os

B = legalább az egyik 6-os

Lehetőségek: (1, 6), (2, 6), ..., (6, 1), (6, 2), ... => 10 db

Jó: (6, 6) => 1 db

Összesen: 11 db

\(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

\(P(A \mid B) = \dfrac{1}{6 \cdot 6} = \dfrac{1}{36}\)

\(P(B) = \dfrac{11}{36}\)

\(\dfrac{P(A \mid B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{36}}{\dfrac{11}{36}}\)

2.2

Egymástól függetlenül kitöltök 1000 db ötöslottó-szelvényt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy lesz legalább egy öttalálatosom?

A = min. egy nyert az 1000-ből

\(\left(\dfrac{1}{\dbinom{90}{5}}\right)^{1000}\)

Nem 5-ös: \(q = 1 - \dfrac{1}{\binom{90}{5}} \longleftarrow \;\) mind az 1000 nyert

A (felülvonás) = egyik sem az 5-ös: q^{1000}

\(P(A) = 1 - P(A felülvonás) = 1 - q^{1000}\)

2.4

  • Első gépsor: 25% (ennek 5%-a hibás)
  • Második gépsor: 35% (ennek 4%-a hibás)
  • Harmadik gépsor: 40% (ennek 2%-a hibás)

P(E) = 0,25

P(M) = 0,35

P(H) = 0,4

a)

Mekkora a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék hibás lesz?

\(P(selejt) = P(S) = P(S \mid E) \cdot P(E) + P(S \mid M) \cdot P(M) + P(S \mid H) \cdot P(H)\)

\(TVSZ = 0,5 \cdot 0,25 + 0,04 \cdot 0,35 + 0,02 \cdot 0,4 = 0,0345\)

b) Bayes

\(P(E \mid S) = \dfrac{P(S \mid E) \cdot P(E)}{P(S)} = \dfrac{0,05 \cdot 0,25}{0,0345}\)

Házi feladatok

  • 2.5
  • 2.6