3. gyakorlat
Elmélet
X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
Szimplán eseményekkel nem tudunk mindent leírni, vizsgálni.
A matematika főleg számokat tud kezelni (egyéb objektumok mellett), így valahogy érdemes számszerűsíteni a különböző kimeneteleit egy kísérletnek.
Ezt nevezzük az X valószínűségi változónak, mely tulajdonképp egy \(\Omega \to \R\) függvény.
Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az az \(F_X : \R \to \R\) függvény, amelyre
\(F_X(x) = P(X < x)\)
(Lényegében, ha egyértelmű)
- \(0 \leq F(X) \leq 1\)
- monoton növő
- balról folytonos: \(\lim \limits_{x \to y - 0} F(x) = F(y)\)
- \(\lim \limits_{x \to - \infty} F(x) = 0\)
- \(\lim \limits_{x \to \infty} F(x) = 1\)
Diszkrét valószíínűségi változó
Egy X valószínűségi változó diszkrét, ha legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok értéket vehet fel.
Ekkor X eloszlását az alábbi (végtelen) táblázat írja le:
| Érték | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\dots\) | |
| Valószínűség | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\dots\) |
\(p_i = P(X = x_1)\)
\(\sum \limits_{i} p_i = 1\)
Diszkrét valószínűségi változó várható paraméterei
Várható érték
\(\mathbb{E}(X) = \sum \limits_{k \in R(X)} k \cdot P(X = k)\)
Szórásnégyzet
A szórásnégyzet az X értékei és a várható érték közötti eltérések négyzetének a várható értéke.
\(D^2(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^2]\)
Szórás
\(D(X) = \sqrt{D^2(X)}\)
Nevezetes diszkrét eloszlások
Indikátor eloszlás (vagy Bernoulli eloszlás)
- Egyetlen kísérlet van, amelynek csak két kimenetele lehet: siker (1) vagy kudarc (0).
| Értékek | \(p_k = P(X = k)\) | \(E(X)\) | \(D^2\) |
|---|---|---|---|
| 0, 1 | \(p^k \cdot (1 - p)^{1 - k}\) | \(p\) | \(p \cdot (1 - p)\) |
Példák:
- Egy érme egyszeri feldobása (fej vagy írás).
- Egy kérdés helyes vagy helytelen megválaszolása.
- Egy gép működik vagy nem működik.
| Értékek | \(p_k = P(X = k)\) | \(E(X)\) | \(D^2\) |
|---|---|---|---|
| - | - | - | - |
(majd ezt a részt befejezem)