Beugró

• Az alábbi kérdések közül 6 db fog szerepelni a beugrón.
• A kérdések fixek, de az alkalmazási feladat eltérhet (itt példák szerepelnek).
• Egy kérdés max. 3 pontot ér. (0, 1.5 vagy 3 pont kapható rá.)
• A beugró siekres, ha 18 pontból minimum 12-t elérsz.

Beugró kérdések

Számelmélet

1. Mondja ki a maradékos osztás tételét! ✅
   • Ossza el maradékosan a 18-at a 7-tel!
2. Definiálja a legnagyobb közös osztót! ✅
   • Mi lesz \((12, 18)\)?
3. Mondja ki a lineáris diofantikus egyenletek megoldhatóságáról szóló tételt! ✅
   • Megoldható-e a \(12x + 18y = 5\) egyenlet? Ha igen, adjon megoldást, ha nem, indokoljon!
4. Definiálja a kongruencia relációt! ✅
   • Mondjon példát két különböző \(x \in \Z\)-re, mely teljesíti az \(\;x \equiv 3 \mod 4\) relációt!
5. Mondja ki a lineáris kongruenciák megoldhatóságára vonatkozó tételt! ♣️
   • Megoldható-e a \(\;12x \equiv 2 \mod 10\;\) lineáris kongruencia? Ha igen, adja meg az összes megoldást, ha nem, indokoljon!
6. Definiálja az Euler-féle \(\phi\) függvényt! ✅
   • Mi lesz \(\phi(6)\)?
7. Mondja ki az Euler–Fermat-tételt! ✅
   • Mi lesz \(\;3^4 ≡ ? \mod 8\). Válaszát indokolja!

Polinomok

1. Definiálja a polinomok fokát! ✅
   • Mennyi lesz \(\,deg\, (x^3 + x − 1) = \;?\)
2. Mondja ki a maradékos osztás tételét polinomok körében! ✅
   • Ossza el maradékosan az \(f = x^3 + 3x + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) polinomot a \(g = x + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) polinommal!
3. Mondja ki a gyöktényező kiemelhetőségére vonatkozó tételt! ✅
   • Mondjon példát két olyan \(g\) polinomra, melynek gyöke az \(\;x = 1\;\) és \(\;x = 2\;\) érték!
4. Mondja ki a polinom foka és gyökeinek száma közötti összefüggést! ✅
   • Hány gyöke lehet az \(f = x^5 + x + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) polinomnak?
5. Definiálja polinomok legnagyobb közös osztóját! ✅
   • Mi lesz az \(\;f = (x − 1)(x + 1) \in \mathbb{Q}[x]\;\) és \(\;g = x(x − 1)^2 (x + 1) \in \mathbb{Q}[x]\;\) polinomok legnagyobb közös osztója?
6. Definiálja a formális deriváltat! ✅
   • Mi lesz az \(\;f = x^2 + x + 1 \in \Z_2[x]\;\) polinom formális deriváltja?
7. Definiálja az irreducibilis polinom fogalmát! ✅
   • Irreducibilis lesz-e az \(\;f = (x + 1)(x + 2) \in \R[x]\;\) polinom?
8. Definiálja a kongruencia relációt polinomok körében! ✅
   • Mondjon példát két különböző \(\;g \in \Z_2[x]\;\) polinomra, mely teljesíti a \(\;g \equiv x + 1 \mod\, x^2 + x + 1\;\) relációt!
9. Mondja ki a Lagrange interpolációról szóló tételt! ✅
   • Hány olyan, legfeljebb harmadfokú polinom van, mely a \(3\) helyen a \(2\)-t, az \(1\) helyen a \(0\)-t, a \(6\) helyen a \(−9\)-t és a \(0\) helyen a \(−1\)-t veszi fel?

Kódelmélet

1. Definiálja a Hamming-távolságot! ✅
   • Mennyi lesz \(\;d(010, 110) = \;?\;\) és \(\;d(0000, 0009) = \;?\)
2. Definiálja a kódok minimális távolságát! ✅
   • Mennyi lesz \(\mathcal{C} = \{010, 101, 111\}\) kód minimális távolsága?
3. Mondja ki a kód kódtávolsága és a hibajelző, hibajavító képesség közötti összefüggést! ✅
   • Hány hibát jelez ill. javít a \(\mathcal{C}\) kód, ha \(d(\mathcal{C}) = 8\;\)?
4. Definiálja a Hamming-súlyt! ✅
   • Mennyi lesz \(\;w(010) = \;?\;\) és \(\;w(0009) = \;?\)
5. Definiálja a kódok súlyát! ✅
   • Mennyi lesz \(\mathcal{C} = \{000, 010, 101, 111\}\) kód súlya?
6. Definiálja a lineáris kódok fogalmát! ✅
   • Lineáris lesz-e a \(\mathcal{C} = \{110, 101, 111\} \subset \Z^{3}_{2}\) kód?
7. Definiálja lineáris kódok generátormátrixát! ✅
   • Mi lesz a \((b_1, b_2) \mapsto (b_1, b_2, b_1 + b_2)\) bináris lineáris kód generátormátrixa?
8. Definiálja lineáris kódok ellenőrzőmátrixát! ✅
   • Mi lesz a \((b_1, b_2) \mapsto (b_1, b_2, b_1 + b_2)\) bináris lineáris kód ellenőrző mátrixa?