1. gyakorlat

Definíció: Ismétlés nélküli permutáció

n db különböző elem egy sorrendje.

Lehetőségek száma: \(n!\)

Definíció: Ismétléses permutáció

n db elem egy sorrendje, ahol az egyforma elemeket nem különböztetjük meg. Az n elem között lehet \(k_1, \dots, k_r \;\) db egyező.

Lehetőségek száma: \(\dfrac{n!}{k_1! \,\cdot\, \dots \,\cdot\, k_r!}\)

Definíció: Ismétlés nélküli variáció

n db különböző elem közül kiválasztott valamely k számú \((k \leq n)\) elem egy sorrendje. (Nincs visszatevés.)

Lehetőségek száma: \(\dfrac{n!}{(n - k)!}\)

Definíció: Ismétléses variáció

n db különböző elem közül visszatevéses eljárással kiválasztott valamely k számú \((k \leq n)\) elem egy sorrendje.

Lehetőségek száma: \(n^k\)

Definíció: Ismétlés nélküli kombináció

n db különböző elem közül k számú \((k \leq n)\) elem egyszerre történő kiválasztása. (A sorrend nem számít, nincs visszatevés).

Lehetőségek száma: \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\)

Definíció: Ismétléses kombináció

Definíció: Kolgomorov-féle valószínűség

Kolgomorov-féle valószínűségi mező a következő hármast jelenti: \((\Omega\), \(\mathcal{A}, P)\)

\(\Omega\): Alaphalmaz

• Az összes lehetséges kimenetel halmaza
• Nem üres halmaz
• \(w \in \Omega\): elemi események
• Példák:
  • Pénz feldobás: \(\Omega = \{\text{fej}, \text{írás}\}\)
  • Kocka dobás: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

\(\mathcal{A}\): Események rendszere

• \(\Omega\) bizonyos részhalmazainak gyűjteménye (\(\sigma\)-algebrája)
• Nem mindig használjuk az összes részhalmazt
• Példa
  • Kocka dobás:
    • A: "Az összeg 8"
    • B: "Két dobás ugyanaz"
    • C: "Az első dobás páros"

\(P\): Valószínűségfüggvény

• \(P: \mathcal{A} \to [0, 1]\)
• Ez egy függvény, ami minden eseményhez hozzárendel egy számot 0 és 1 között.

Axiómák

• Normalizáció:

  • \(P(\Omega) = 1\)
  • Az összes lehetséges kimenetel valószínűsége 1.

• Nemnegativitás:

  • \(\forall A \in \mathcal{A}: \; P(A) \geq 1\)
  • Minden esemény valószínűsége nemnegatív

• Additivitás:

  • A független, nem átfedő lehetőségek valószínűsége összeadódik.
  • Ha az \(A_1, A_2, A_3, \dots\) események páronként kizáróak (diszjunktak), akkor: \(P \left(\bigcup \limits_{i=1}^{\infin} \, A_i \right) = \sum \limits_{i=1}^{\infin} P(A_i)\)

Definíció: Klasszikus valószínűség

Az A esemény valószínűsége megadható úgy, hogy

\(P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{\text{kedvező}}{\text{összes}} = \dfrac{\text{az A halmaz elemszáma}}{\text{az összes lehetséges kimenetel száma}}\)