Beugró - Poliomok
1. Definiálja a polinomok fokát
Definíció: Polinom és polinom foka
A \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \R, \mathbb{Q}, \Z_p\}\) fölötti polinomok halmaza \(\mathbb{K}[x]\).
Adott a \(f = c_n \cdot x^n + \dots + c_0 \in \mathbb{K}[x]\) polinom.
-
Együtthatói: \(\;c_n,\, \dots,\, c_0\) számok
-
Foka: \(\deg f = n\;\;\) (ha \(c_n \ne 0\))
-
Főegyütthatója: \(c_n\)
Példa feladat
Mennyi lesz \(\,deg\, (x^3 + x − 1) = \;?\)
\(\,deg\, (x^3 + x − 1) = \;3\)
2. Mondja ki a maradékos osztás tételét polinomok körében
Tétel: Maradékos osztás tétele polinomok körében
Legyen \(\;\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \R, \mathbb{Q}, \Z_p\}\;\) és \(\;f, g \in \mathbb{K}[x],\; g \ne 0\).
Ekkor egyértelműen léteznek olyan \(\;q, r \in \mathbb{K}[x]\;\) polinomok, hogy
\(f = g \cdot q + r \quad deg\;r < deg\;g\)
Példa feladat
Ossza el maradékosan az \(f = x^3 + 3x + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) polinomot a \(g = x + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) polinommal!
Polinomosztás
\(x^3 + 3x + 1 \div (x + 1) = x^2 - x + 4\)
🍕
\(\dfrac{x^3}{x} = x^2\)
\(x^3 + 3x + 1 - x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + 3x + 1 - (x^3 + x^2) = x^3 + 3x + 1 - x^3 - x^2 = - x^2 + 3x + 1\)
🍕
\(\dfrac{-x^2}{x} = -x\)
\(- x^2 + 3x + 1 + x \cdot (x + 1) = - x^2 + 3x + 1 + x^2 + x = 4x + 1\)
🍕
\(\dfrac{4x}{x} = 4\)
\(4x + 1 - 4 \cdot (x + 1) = 4x + 1 - 4x - 4 = -3\)
🍕
\(\underbrace{x^3 + 3x + 1}_{f} = \underbrace{(x + 1)}_{g} \cdot \underbrace{(x^2 - x + 4)}_{q} \;\underbrace{- 3}_{r}\)
3. Mondja ki a gyöktényező kiemelhetőségére vonatkozó tételt
Tétel: Gyöktényező kiemelhetőségére vonatkozó tétel
Legyen \(\;\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \R, \mathbb{Q}, \Z_p\},\; f \in \mathbb{K}[x]\) és \(x_1 \in \mathbb{K}\) egy gyöke. Ekkor \(f\) felírható az \(f = (x - x_1) \cdot g\) formában valamely \(g \in \mathbb{K}[x]\) polinommal.
Példa feladat
Mondjon példát két olyan \(g\) polinomra, melynek gyöke az \(\;x = 1\;\) és \(\;x = 2\;\) érték!
\(g_1 = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2\)
\(g_2 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = (x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)
4. Mondja ki a polinom foka és gyökeinek száma közötti összefüggést
Tétel: Polinom foka és gyökeinek száma közötti összefüggés
\(\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \R, \mathbb{Q}, \Z_p\}\)
Egy \(f \in \mathbb{K}[x]\) polinomnak legfeljebb \(deg \; f\) gyöke lehet.
Példa feladat
Hány gyöke lehet az \(f = x^5 + x + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) polinomnak?
\(deg \; f = 5\), tehát maximum \(5\) gyöke lehet
5. Definiálja polinomok legnagyobb közös osztóját
Definíció: Polinomok legnagyobb közös osztója
Két polinom \(f\) és \(g\) legnagyobb közös osztója h, ha
- közös osztó: \(h \mid f\) és \(h \mid g\)
- legnagyobb: ha \(q \mid f\) és \(q \mid g \;\Rightarrow\; q \mid h\)
- \(h\) főegyütthatója \(1\)
Példa feladat
Mi lesz az \(\;f = (x − 1)(x + 1) \in \mathbb{Q}[x]\;\) és \(\;g = x(x − 1)^2 (x + 1) \in \mathbb{Q}[x]\;\) polinomok legnagyobb közös osztója?
\((x - 1)(x + 1\))
6. Definiálja a formális deriváltat
Definíció: Formális derivált
Polinomokra definiáljuk a \(f'\) formális deriváltat a következő módon:
- \((x^n)' = n \cdot x^{n - 1}\)
- \((c \cdot f)' = c \cdot f'\)
- \((f + g)' = f' + g'\)
Példa feladat
Mi lesz az \(\;f = x^2 + x + 1 \in \Z_2[x]\;\) polinom formális deriváltja?
\(f' = 1\), mert le kell modulozni
7. Definiálja az irreducibilis polinom fogalmát
Definíció: Irreducibilis polinom fogalma
Egy \(f\) polinom irreducibilis (vagyis nem-felbontható), ha nem bontható szorzatra nem-triviális módon, azaz
\(f = g \cdot h \;\Longrightarrow\; deg \; g = deg \; f \;\lor\; deg \; h = deg \; f\)
Példa feladat
Irreducibilis lesz-e az \(\;f = (x + 1)(x + 2) \in \R[x]\;\) polinom?
\(f\) nem irreducibilis, mert \(g = (x + 1)\)
8. Definiálja a kongruencia relációt polinomok körében
Definíció: Kongruencia polinomok körében
\(\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \R, \mathbb{Q}, \Z_p\}\)
Legyen \(h \in \mathbb{K}[x]\) egy nem-nulla polinom. Ekkor \(f, g \in \mathbb{K}[x]\)
\(f \equiv g \mod h\;\) ha \(\;h \mid f - g\)
Példa feladat
Mondjon példát két különböző \(\;g \in \Z_2[x]\;\) polinomra, mely teljesíti a \(\;g \equiv x + 1 \mod\, x^2 + x + 1\;\) relációt!
\(g \equiv x + 1 \mod x^2 + x + 1\;\;\) ha \(\;\;x^2 + x + 1 \mid g - (x + 1)\)
\(g = k \cdot (x^2 + x + 1) + (x + 1)\)
\(g = 0\), mert \(\;x^2 + x + 1 \mid x + 1 - (x + 1) = 0\)
\(g = x^2\), mert \(\;x^2 + x + 1 \mid x^2 - (x + 1) = x^2 + x + 1\)
9. Mondja ki a Lagrange interpolációról szóló tételt
Tétel: Lagrange interpoláció
Legyen \(f = \sum\limits_{i = 0}^{n} \; y_i \cdot \left(\underset{j \ne i}{\prod\limits^{n}_{j = 0\,}} \; \dfrac{x - x_j}{x_i - x_j}\right)\)
Legyenek \(\;x_0, x_1, \dots, x_n\;\) páronként különböző alappontok és \(\;y_0, y_1, \dots, y_n\;\) tetszőleges értékek.
Ekkor egyértelműen létezik olyan \(f\) polinom, hogy \(\;deg \; f \le n\;\) és \(\;f(x_i) = y_i\,\).
Példa feladat
Hány olyan, legfeljebb harmadfokú polinom van, mely a \(3\) helyen a \(2\)-t, az \(1\) helyen a \(0\)-t, a \(6\) helyen a \(−9\)-t és a \(0\) helyen a \(−1\)-t veszi fel?
Pontosan 1 van.