1. előadás

Egy kis motiváció

"Nem olyan triviális!"
"Amerikában még a bölcsészek is tanulják!"

Bevezető

Fogalom felépítések

Analízis: speciális esetek kiterjesztése általános esetekre (határérték eljárás)

Valós számok struktúrákja

\(\R\)

Testaxiómák

Összeadás: \(\forall x,y \in \R\) esetén értelmezve van x + y \(\in \R\) amelyre teljesűl:
Kommutativitás (felcserélhetőség)
Asszociativitás (átzarójelezhetőség)
Nullelem létezése (x + 0 = x)
Ellentett létezése (x + \(\overline{x}\) = 0)
Szorzás: \(\forall x,y \in \R\) esetén értelmezve van x * y \(\in \R\) amelyre teljesűl:
Kommutativitás (felcserélhetőség)
Asszociativitás (átzarójelezhetőség)
Egység létezése (1)
Reciprok létezése (minden 0-tól különböző x-hez létezik, olyan x_0, hogy x \(\cdot\) x_0 = 1)
Disztributivítás: \(\forall x,y,z \in \R\) esetén \((x + y) * z = x * z + y * z\)

(Ez köti össze e két műveletet)

Rendezési axiómák

\(\R\)-en értelmezve van egy \(\le \; \subset \R \times \R\) (kisebb-egyenlőnek nevezett) reláció, amelyre a következők teljesülnek

(x relációban van y-al vagy y relációban van x-el, bármely két elem összehasonlítható)

reflexív
antiszimmetrikus
tranzitív
dichotóm

A rendezést és a műveleteket összekapcsoló szabályok

\(x \le y \Rightarrow x + z \le y + z (x, y, z \in \R)\)

\(0 \le x és 0 \le y \Rightarrow 0 \le x \cdot y (x, y, z \in \R)\)

Teljességi axióma (Dedekind-axióma vagy szétválasztási axióma)

(Racionális számok halmazára már nem igaz)

A valós számoknak van két olyan részhalamza, egyiksem üres és az egyik halamz minden eleme kisebb a másik halmaz összes eleménél. pl.: negatív számok halmaza, pozitív számok halmaza

\(A, B \subset \R, A \ne 0, B \ne 0 \, \text{halmazokra teljesül, hogy minden} a \in A \,\text{és minden} b \in B \text{elemre} a \le b\)

\(\exist \xi \in \R : \quad \forall a \in A \; és \; b \in B \quad \text{esetén} \quad a \le \xi \le b\)

Természetes számok halmaza

Induktív halmaz

A H \(\subset \; \R\) halmaz induktív halmaz, ha

\(0 \in H\),
minden x \(\in\) H esetén x + 1 \(\in\) H

Korlátosság

Ha alúlról és felűlről is korlátos akkor simán korlátosnak hívjuk

Ha van egy halmaznak felső korlátja akkor végtelen sok van (úgyan így alsó korlátnál)

Szuprémum elv

ha felűlről korlátos akkor a felső korlátok között van \(\bold{legkisebb}\), a halmaznak van minimuma, ezt hívjuk szuprémumnak
mindig létezik
Ha felűlről nem korlátos a szuprémuma plusz végtelen azaz a halmaz felűlről nem korlátos

A felülről korlátos \(\empty \; \neq \; \text{H} \subset \R\) számhalmaz legkisebb felső korlátját H szuprémumának nevezzük, és a sup H szimbólummal jelöljük.

Infimum

alulról korlátos halamz esetén mindig van \(\bold{legnagyobb}\) alsó korlát

Az alulról korlátos \(\empty \; \neq \; \text{H} \subset \R\) számhalmaz legnagyobb alsó korlátját H infimumának nevezzük, és az inf H szimbólummal jelöljük.

Valós számok kibővített halmaza

\(\R := \R\;\cup\; \lbrace-\infty,+\infty\rbrace\)
\(\forall x \in \R : -\infty < x < +\infty\)

Arkhimédészi tulajdonság

Minden \(a > 0\) és minden \(b\) valós számhoz létezik olyan \(n\) természetes szám, hogy \(b < n \cdot a\), azaz

\(\forall a > 0 \; \text{és} \; \forall b \in \R \; \text{esetén} \; \exist n \in \N \; \text{, hogy} \; b < n \cdot a\)

Cantor tulajdonság

Tegyük fel, hogy minden \(n\) természetes számra adott az

\([a_n, b_n] \subset \R\) korlátos és zárt intervallum úgy, hogy

\([a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n] (n \in \N)\).

(Bármelyik bal végpont kisebb egyenlő, mint bármelyik jobb végpont. Dedekind axiónára vezet vissza a bizonyítás.)

Függvények

Helyettesítési érték

Legyen \(A\) és \(B\) tetszőleges nemüres halmaz.

A \(\empty \neq f \subset A \times B\)

relációt függvénynek nevezzük, ha

\(\forall x \in D_f\) esetén \(\exist ! y \in R_f : (x,y) \in f\)

Az y elemet az f függvény x helyen felvett helyettesítési értékének nevezzük és az f(x) szimbólummal jelöljük. Ekkor azt is mondjuk, hogy az f függvény x-hez az f(x) függvényértéket rendeli.

Függvény képe

Legyen \(f: A \rightarrow B\) egy adott függvény és \(C \subset A\). Ekkor a \(C\) halmaz \(f\) által létesített képén az

\(f[C] := {f(x) | x \in C} = {y \in B | \exist x \in C : y = f(x)} \subset B\)

halmazt értjük. Megállapodunk abban, hogy f[∅] = ∅.

Függvény ősképe

(In progress)

Függvény invertálhatósága

Függvények kompozíciója

Nem kommutatív

\(f \circ g \quad \neq \quad g \circ f\)