2. előadás

Függvények kompozíciója

$(f o g)(x) := f(g(x))$

Sorozat fogalma

Az $a: \N \rightarrow \R$ fvt valós sorozatnak nevezzük.

Az

\[ a(n) =: a_n \quad (n \in \N) \]

helyettesítési érték a sorozat n-edik (n-indexű) tagja, az n az $a_n$ tag indexe.

Jelölések:

\[ a_n := n^2 \]

\[ a, \, (a_n), \qquad (a_0, a_1, a_2, \dots) \]

Az előző példát nézve:

\[ a \qquad (0,1,4,9,16,25, \dots) \]

Két sorozat akkor egyenlő, ha mint fvek egyenlők, azaz $a(n) = b(n) \Longleftrightarrow a_n = b_n$

Monotonítás

monoton nő: ha $a_{n+1} \ge a_n, minden n \in \N esetén$
szig. mon. nő: ha $a_{n+1} > a_n$
monoton csökken: ha $a_{n+1} \le a_n, minden n \in \N esetén$
szig. mon. csökk.: ha $a_{n+1} < a_n$

Sorozatok korlátossága

Azt mondjuk, hogy az a: $\N \rightarrow \R$ sorozat

felűlről korlátos, ha a sorozat értékkészlete, $R_{a}$ felűlről korlátos, azaz

\[ \exist K \in \R \, \text{olyan, hogy}\, a_n \le K \quad \forall n \in \N \]

alúlrol korlátos, ha $R_a$ alúlról korlátos, azaz

\[ \exist k \in \R \, \text{olyan, hogy}\, k \le a_n \quad \forall n \in \N \]

korlátos, ha a $R_a$ korlátos, azaz

\[ \exist k, K \in \R \, \text{olyan, hogy}\, k \le a_n \le K \quad \forall n \in \N \]

Műveletek, úgy definiálva mint függvények

($a_n$) + ($b_n$) = ($a_n + b_n$)
($a_n$) * ($b_n$) = ($a_n * b_n$)
ha $b_n \ne 0$, $ \frac {(a_n)}{(b_n)} $= $ \left( \frac{a_n}{b_n}\right)$

Konvergens sorozat

Az $a: \N \rightarrow \R$ sorozat konvergens, ha van olyan $A \in \R$ szám, amelyre

$\forall \; \varepsilon > 0$ számhoz $\exist \; n_0 \in \N$, hogy $\forall n > n_0$ indexre $|a_n - A| < \varepsilon$.

Az $A$ számot a sorozat határértékének nevezzük.
$n_0$ az $\varepsilon$-hoz tartozó küszöbindex

Divergens sorozatok

Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergens.

Pozitív állításként:

Az $a : \N \rightarrow \R $ sorozat divergens ha $\forall A \in \R$ esetén $\exist \, \epsilon $ > 0, hogy $\forall n_0 \in \N $ , indexhez $\exist$ nála nagyobb $n > n_0$ index, amelyre $ \lvert a_n - A \rvert \ge \epsilon $

Határérték egyértelmű

Minden konvergens valós sorozatnak pontosan egy határértéke van.

Bizonyítás

indirekt módon ...

Környezet fogalma

Legyen $A \in \R$ és $\R \ni r > 0 $

A

\[ K_r(A) := (A-r, A+r) \]

(-- TODO --)

TFH az $(a_n)$ és a $(b_n)$ sorozatok véges sok indextől eltekintve megegyeznek, azaz

$\exists \; N \in \N$ olyan, hogy $a_n = b_n \; \; \forall \; n > N$.

Ekkor az $(a_n)$ sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha $(b_n)$ is konvergens, és ebben az esetben $\lim (a_n) = \lim (b_n)$.