7. gyakorlat
Témák
- Nevezetes sorokat alapul vége
- Végtelen sorok konvergenciája
- Végtelen sorok összege
Nevezetes sorok
Geometriai (mértani) sor \((q^n)\)
Ha \(|q| < 1\), akkor konvergens és összege
\(\sum^{+ \infin}\limits_{n=0} (q^n) \; = 1 + q + q^2 + \dots \; = \; \bf\dfrac{1}{1 - q}\)
Ha \(q \geq 1\), akkor van összege, amely a \(+ \infin\)
Teleszkopikus sor \((\frac{1}{n \cdot (n + 1)})\)
A sor konvergens és összege
\(\sum^{+ \infin}\limits_{n=1} \left(\dfrac{1}{n \cdot (n + 1)}\right) \; = \; \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{2}{2 \cdot 3} + \dots = \bf 1\)
Hiperharmonikus sor
\(\sum\limits_{n=1} \left(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\right) \; = \; 1 + \dfrac{1}{2^{\alpha}} + \dfrac{2}{3^{\alpha}} + \dots = \bf 1\)
A hiperharmonikus sor
- divergens, ha \(\alpha \leq 1\), de ekkor van összege: \(+\infin\)
- konvergens, ha \(\alpha > 1\)
Ha
- \(\alpha = 1\), akkor divergens
- \(\alpha = 2\), akkor konvergens
\(\varepsilon\) szám sorösszeg
\(\sum\limits_{n=0}^{+ \infin} \dfrac{1}{n!} \; = \; \bf \varepsilon\)
Ez a végtelen sor konvergens.
Leibniz-sor
\(\sum\limits_{n=1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\)
Ez a végtelen sor konvergens.