Kihagyás

8. gyakorlat

Témák

  • Végtelen sorok konvergenciája
  • Végtelen sorok összege
  • Cauchy és D'Alambert
  • Össszehasonlító kritérium
  • Paraméteres végtelen sor

Cauchy és D'Alambert féle kritériumok

Végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritérium

Legyen \(a: \N \to \R\) olyan sorozat, amelyre \(\exist \; A := \lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \overline{\R}\).

Ha \(A < 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor abszolút konvergens.

Ha \(A > 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor divergens.

Ha \(A = 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor lehet konvergens és divergens is.

Végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskritérium

Legyen \(a: \N \to \R\) olyan sorozat, amelyre \(a_n \neq 0 \; (n \in \N)\), és \(\quad \exist \; A := \lim\left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) \in \overline{\R}\).

Ha \(a < 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor abszolút konvergens.

Ha \(a > 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor divergens.

Ha \(a = 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor lehet konvergens és divergens is.

Végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumok

Legyen \(0 \leq a_n \leq b_n \quad (n \in \N)\).

Majoráns kritérium

Ha \(\sum(b_n)\) konvergens, akkor \(\sum(a_n)\) is konvergens.

Minoráns kritérium

Ha \(\sum(a_n)\) divergens, akkor \(\sum(b_n)\) is divergens.