2. gyakorlatra

1. Indukítv halmaz

A \(H \subset \R\) halmaz induktív, ha

Példa: \(\R\)

Tegyük fel, hogy minden \(n \in \N\) adott egy \(A(n)\) állítás, és azt tudjuk, hogy

Ekkor az \(A(n)\) állítás minden természetes számra igaz.

A \(\empty \neq A \subset \R\) felülről korlátos, ha

\(\exist \; K \in \R\), hogy \(\forall x \in H\) esetén \(x \le K\).

A \(K\) szám a \(H\) halmaz felső korlátja.

Van egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmazunk. Minden \(K \in \R\)-re létezik \(a \in A\), hogy \(a > K\).

Az \(\empty \neq A \subset \R\) korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, azaz

\(\exists K \in \R\), hogy \(\forall \; x \in A\) esetén \(|x| \le K\).

Legyen \(H \subset \R\) és tegyük fel, hogy

Ekkor \(\exists \; min\{K \in \R \; | \; K \; \text{felső korlátja} \; H\text{-nak}\}\).

(A felső korlátok között van legkisebb.)

A felülről korlátos \(\empty \neq H \subset \R\) számhalmaz legkisebb felső korlátját \(H\) szuprémumának nevezzük.

Jele: \(sup \; H\)

\(\xi \; = \; sup \; H \quad \quad \Longleftrightarrow\)

\(\xi\) felső korlát, azaz \(\forall \; x \in H: x \le \xi\)
A legkisebb felső korlát, azaz \(\forall \; \varepsilon > 0\)-hoz \(\exists \; x \in H: \xi - \varepsilon < x\)

A alulról korlátos \(\empty \neq H \subset \R\) számhalmaz legnagyobb alsó korlátját \(H\) infimumának nevezzük.

Jele: \(inf \; H\)

\(\xi \; = \; inf \; H \quad \quad \Longleftrightarrow\)

\(\xi\) alsó korlát, azaz \(\forall \; x \in H: x \ge \xi\)
A legnagyobb alsó korlát, azaz \(\forall \; \varepsilon > 0\)-hoz \(\exists \; x \in H: \xi + \varepsilon > x\)

\(\exists \; max \; H \; \Longleftrightarrow \; sup \; H \in H\) és akkor \(sup \; H = max \; H\)

\(\exists \; min \; H \; \Longleftrightarrow \; inf \; H \in H\) és akkor \(inf \; H = min \; H\)