Kihagyás

4. gyakorlatra

1. Valós számsorozat korlátos (egyenlőtlenségekkel)

Egy sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Egyik megfogalmazás

Azt mondjuk, hogy az \(a: \N \to \R\) sorozat korlátos, ha a \(R_a\) korlátos azaz

\(\exist \; k, K \in \R\), amelyre igaz, hogy \(\; k \leq a_n \leq K \quad \forall n \in \N\).

Másik megfogalmazás

Azt mondjuk, hogy az \(a: \N \to \R\) sorozat korlátos, ha \(\exist K \in \R\), amelyre \(|a_n| \leq K \quad \forall n \in \N\)

2. Valós sorozat monoton növő

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat monoton növekedő, ha \(\; a_{n+1} \geq a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\nearrow\)

3. Valós sorozat szigorúan monoton növő

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat szigorúan monoton növekedő, ha \(\; a_{n+1} > a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\uparrow\)

4. Valós sorozat monoton csökkenő

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat monoton csökkenő, ha \(\; a_{n+1} \leq a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\searrow\)

5. Valós sorozat szigorúan monoton csökkenő

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha \(\; a_{n+1} < a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\downarrow\)

6. \(a \in \R\) középpontú \(r > 0\) sugarú környezet fogalma

Valamilyen \(a \in \R\) és \(r > 0\) esetén a

\(K_r(a) := \{x \in \R \; | \; |x - a| < r\}\)

halmazt az \(a\) középpontú \(r\) sugarú környezetének nevezzük.

7. \(+ \infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének fogalma

Legyen \(r > 0\) valós szám. Ekkor a \(+ \infin\) elem \(r\) sugarú környezetét így értelmezzük:

\(K_r(+ \infin) := \bigg(\frac{1}{r}, \; + \infin \bigg)\)

8. \(- \infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének fogalma

Adja meg a −∞ elem r > 0 sugarú környezetének a fogalmát!

Legyen \(r > 0\) valós szám. Ekkor a \(- \infin\) elem \(r\) sugarú környezetét így értelmezzük:

\(K_r(- \infin) := \bigg(- \infin, \; - \frac{1}{r} \bigg)\)

9. Számsorozat konvergens

Azt mondjuk, hogy az \(\; a: \N \to \R \;\) sorozat konvergens, ha \(\; \exist \; A \in \R \;\) szám, amelyre

\(\; \forall \; \varepsilon > 0 \;\) számhoz \(\; \exist \; n_0 \in \N \;\), hogy \(\; \forall \; n > n_0 \;\) indexre \(\; |a_n - A| < \varepsilon \;\).

  • \(A\): A sorozat határértéke
  • \(n_0\): \(\varepsilon\)-hoz tartozó küszöbindex

10. Számsorozat divergens (pozitív állításként)

A nem konvergens sorozatokat nevezzük divergensnek.

Azt mondjuk, hogy az \(\; a: \N \to \R \;\) sorozat divergens, ha \(\; \forall \; A \in \R \;\) szám esetén

\(\; \exist \; \varepsilon > 0 \;\), hogy \(\; \forall \; n_0 \in \N \;\), indexhez \(\exist\) nála nagyobb \(\; n > n_0 \;\) index, amelyre \(\; |a_n - A| \geq \varepsilon \;\).