Kihagyás

5. gyakorlatra

1. Sorozatokra vonatkozó közrefogási elv

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\), a \((b_n)\) és a \((c_n)\) sorozatokra teljesülnek a következők:

  • \(\exist \; N \in \N\), hogy \(\forall \; n > N\): \(\; \; (a_n) \leq (b_n) \leq (c_n)\)
  • Az \((a_n)\) és a \((c_n)\) sorozatnak van határértéke
  • \(\lim (a_n) = \lim (c_n) = \; A \in \overline{\R}\)

Ekkor a \((b_n)\) sorozatnak is van határértéke, amely \(\lim (b_n) = A\)

2. Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, illetve határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között?

Tegyük fel hogy, az \((a_n)\) és \((b_n)\) sorozatnak van határértéke.

Ekkor:

  • Ha \(\lim (a_n) < \lim (b_n) \; \Rightarrow \; n \in \N\) esetén \(a_n < b_n\)
  • Ha \(a_n \leq b_n\) m.m \(n \in \N\) indexre, akkor \(\lim (a_n) \leq \lim (b_n)\)

3. Igaz-e az, hogy ha az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke és \(a_n > b_n\) minden \(n\)-re, akkor \(\lim (a_n) > \lim (b_n)\)? A válaszát indokolja

tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke.

\(a_n > b_n\) minden \(n\)-re, akkor \(\lim (a_n) > \lim (b_n)\)

Indoklás: Névtelen tétel megfordítása

Ha \(b_n < a_n \; \Rightarrow \; \forall n \in \N\) esetén \(\lim (b_n) < \lim (a_n)\)

4. Mit tud mondani nullsorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy \(\lim (a_n) = 0\) és \(\lim (a_b) = 0\). (Nullsorozatok.)

Ekkor az összegük azaz \((a_n) + (b_n)\) is nullsorozat.

5. Mit tud mondani korlátos sorozat és nullsorozat szorzatáról?

Tegyük fel hogy \(\lim (a_n) = 0\).

Ha \((c_n)\) korlátos sorozat, akkor (\(c_n \cdot a_n\)) is nullasorozat.

6. Mondjon példát olyan \((a_n), \; (b_n): \; \N \to \R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim (a_n) = 0\), \(\lim (b_n) = 0\) és a \(\lim \frac{a_n}{b_n}\) határérték nem létezik

  • \(a_n = \frac{(-1)^n}{n}\)
  • \(b_n = \frac{1}{n}\)

\(\lim \frac{a_n}{b_n} \; = \; \frac{\lim \frac{(-1)^n}{n}}{\lim \frac{1}{n}}\)

\(\lim \frac{a_n}{b_n} \; = \; \frac{\lim a_n}{\lim b_n} \; = \frac{0}{0}\)

7. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor \((a_n + b_n)\) is konvergens és \(\lim (a_n + b_n) = \lim(a_n) + \lim(b_n) = A + B\)

8. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor \((a_n \cdot b_n)\) is konvergens és \(\lim (a_n \cdot b_n) = \lim(a_n) \cdot \lim(b_n) = A \cdot B\)

9. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor ha \(b_n \neq 0 \; (n \in \N)\) és \(\lim(b_n) = B \neq 0\) akkor $$ \left(\frac{a_n}{b_n}\right)\; \text{is konvergens és} \lim \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)} = \frac{A}{B} $$

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

10. Milyen állítást tud mondani a (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

  • \(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
  • \(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor az összegük:

\(\exist \; \lim (a_n + b_n)\) és \(\lim (a_n + b_n) \; = \; \lim (a_n) + \lim (b_n) \; = \; A + B\)

Feltéve, hogy az \(A + B\) művelet értelmezve van.

11. Milyen állítást tud mondani a (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

  • \(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
  • \(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor a sorzatuk:

\(\exist \; \lim (a_n \cdot b_n)\) és \(\lim (a_n \cdot b_n) \; = \; \lim (a_n) \cdot \lim (b_n) \; = \; A \cdot B\)

Feltéve, hogy az \(A \cdot B\) művelet értelmezve van.

12. Milyen állítást tud mondani a (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

  • \(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
  • \(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor a sorzatuk:

\(\exist \; \lim \bigg(\frac{a_n}{b_n}\bigg)\) és \(\quad \lim \bigg(\frac{a_n}{b_n}\bigg) \; = \; \frac{\lim a_n}{\lim b_n} \; = \; \frac{A}{B}\)

Feltéve, hogy az \(\frac{A}{B}\) művelet értelmezve van és \((b_n) \neq 0 \; (n \in \N)\).

13. Milyen tételt ismer monoton csökkenő sorozatok határértékével kapcsolatban?

Ha \((a_n)\) monoton csökken, akkor

\[ \exist \lim (a_n) \; \text{és} \; \lim (a_n) = \inf \{ a_n | n \in \N \} = \inf \mathcal{R}(a_n) \]

14. Legyen \(q \in \R\). Mit tud mondani a \((q^n)\) sorozatról határérték szempontjából?

\(\lim q^n = \begin{cases} 0, \quad ha \; |q| < 1 \\ 1, \quad ha \; q > 1 \\ + \infin, \quad ha \; q = 1 \\ \nexists, \text{nem létezik} \quad ha \; q \leq -1 \end{cases}\)