6. gyakorlatra

1. Az $e$ számot definiáló sorozat

\[ a_n := \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \quad \quad (n \in \N^+) \]

$\text{konvergens, mert:} \begin{cases} \text{szigorú monoton növekedő \; és}\\ \text{felülről korlátos} \end{cases}$

Legyen $\; e := \lim\limits_{n \to + \infin} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$

2. Fogalmazza meg egy valós szám $m$-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt! Adjon olyan eljárást, amivel ezek a számok nagy pontossággal előállíthatók

Megfogalmazás

Legyen $A > 0 \quad (A \in \R)$.
Legyen $m \geq 2 \quad (m \in \N)$.

Ekkor:

Pontosan egy olyan $\alpha > 0 \; (\alpha \in \R)$ szám létezik, amelyre $\alpha^m = A$.

$\alpha$-t az $A$ szám $m$-edik gyökének nevezzük, és az $\sqrt[m]{\alpha}$ szimbólummal jelöljük.

Eljárás

Az $a_0 > 0$ tetszőleges valós szám.

Az $\; a_{n+1} := \dfrac{1}{m} \cdot \left(\dfrac{A}{a_n^{m-1}} + (m - 1) \cdot a_n \right) \quad$ $(n \in \N)$

rekurzióval értelmezett $(a_n)$ sorozat határértéke $\; \sqrt[m]{A} \;$ azaz $\\ \lim\limits_{n \to + \infin} a_n = \alpha = \sqrt[m]{A}$.

3. Hogyan szól a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel?

Minden, korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata.

Ez abból következik, hogy minden valós sorozatnak létezik monoton részsorozata.

4. Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak?

Az ($a_n$) sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha $$ \forall \varepsilon > 0 \text{-hoz} \; \exist n_0 \in \N , \text{amelyre} \, \forall m,n > n_0 \,\text{indexre}\, |a_n - a_m | < \varepsilon $$

5. Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között?

Cauchy-sorozat egyszerűen megfogalmazva:

($a_n$) akkor Cauchy-sorozat, ha az elég nagy indexű tagjai tetszőlegesen közel vannak egymáshoz

Ezek alapján ha egy sorozat konvergens akkor Cauchy-sorozat is.