7. gyakorlatra

1. Végtelen sor definíciója

Az $(a_n): \N \to \R$ sorozatból képzett

$s_n := a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n \quad (n \to \N)$

sorozatot az $(a_n)$ által generált végtelen sornak (röviden sornak) nevezzük.

Jelölései:

$\sum a_n$
$\sum\limits_{n=0}$
$a_0 + a_1 + a_2 + \dots$

Ekkor az mondjuk, hogy $s_n$ a $\sum a_n$ sor n. részletösszege, illetve $a_n$ a $\sum a_n$ sor n. tagja, ahol $n \in \N$.

2. Mit jelent az, hogy a $\sum a_n$ végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?

Konvergens

Azt mondjuk, hogy az $a: \N \to \R$ sorozat által generált végtelen sor konvergens, ha a $\sum a$ sorozat, azaz a részletösszegek sorozata konvergens.

Összeg

A végtelen sor határértéke: $\sum\limits_{k=0}^{+ \infin} a_k := \lim \sum a = \lim (s_n)$

A végtelen sor határértékét a sor összegének nevezzük.

3. Geometriai sor konvergenciája $\; \sum_{n=0} q^n \; (q \in \R)$

\[ \sum^{\infty}_{k = 1} q^k = \begin{cases} + \infty, \; q \ge 1; \\ \frac{1}{1 - q}, \; |q| < 1; \\ \nexists, \; q \le -1. \end{cases}\]

4. Harmonikus sor képlete és konvergenciája

$\sum(\frac{1}{n+1})$ sor divergens. Mivel a sor pozitív tagú, ezért a részletösszegek $\nearrow$ sorozatának határértéke + $\infty$

Biz.:

Legyen $n \in \N, \, n \ge 1$ ekkor

\[ s_{2n-1} - s_{n-1} = \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{2n} \ge n * \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \]

Következésképpen a $\sum(\frac{1}{n+1})$ sorra $\varepsilon = \ \frac{1}{2}$ választással nem teljesül a Cauchy-féle konvergecia kritérium

5. Hiperharmonikus sor konvergenciája $\; \sum \frac{1}{n^{\alpha}}$

Legyen $\alpha$ rögzített valós szám.

A $$ \sum (\frac{1}{(n+1)^\alpha}) = 1 + \frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}+\dots $$

hiperharmonikus sor - $\alpha \le 1 $ esetén divergens, és $ \displaystyle\sum^{+\infty}_{n = 1} \frac{1}{n^\alpha} = +\infty$ - $\alpha > 1 $

6. Cauchy-kritérium végtelen sorokra

A $\sum a$ sor akkor és csak akkor konvergens, ha $\forall \varepsilon > 0$ számhoz $\exists N \in \N$ küszöbindex hogy $\forall m,n > N $ (pl. m > n) esetén $|s_m -s_n | = | a_{n+1} + \dots + a_m | < \varepsilon$ ahol $(s_n)$ a részletösszegek sorozatát jelöli.

7. $\sum a_n$ végtelen sor konvergenciájához szükséges feltétel

Ha az $(a_n)$ sorozat által genrált $\sum(a_n)$ sor konvergens, akkor $(a_n)$ nullsorozat.

Nullsorozatból generálható konvergens sor. Ez szükséges, de nem elégséges feltétel.

(nem elégséges feltétel)

tehát ha $(a_n)$ nullasorozat akkor a sor nem biztos, hogy konvergens, de ha a sor konvergens, akkor $(a_n)$ biztos, hogy nullasorozat

8. Igaz-e, hogy ha $\lim (a_n) = 0$, akkor $\sum a_n$ sor konvergens? Indoklással

Nem igaz az állítás. Ugyan a $\lim (a_n) = 0$ egy szükséges feltétel, de nem elégséges. Attól, hogy teljesül még nem biztos, hogy a sor konvergens.

9. Végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumok

Legyen $0 \leq a_n \leq b_n \quad (n \in \N)$.

Majoráns kritérium

Ha $\sum(b_n)$ konvergens, akkor $\sum(a_n)$ is konvergens.

Minoráns kritérium

Ha $\sum(a_n)$ divergens, akkor $\sum(b_n)$ is divergens.

10. Mikor abszolút konvergens egy végtelen számsor?

A $\sum a_n$ sor abszolút konvergens, ha a $\sum |a_n|$ sor konvergens.

Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

11. Mikor feltételesen konvergens egy végtelen számsor?

A $\sum a_n$ sor feltételesen konvergens, ha $\sum a_n$ konvergens, de nem abszolút konvergens.

7. gyakorlatra

1. Végtelen sor definíciója

2. Mit jelent az, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?

Konvergens

Összeg

3. Geometriai sor konvergenciája \(\; \sum_{n=0} q^n \; (q \in \R)\)