8. gyakorlatra
1. Végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritérium
Legyen \(a: \N \to \R\) olyan sorozat, amelyre \(\exist \; A := \lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \overline{\R}\).
Ha \(A < 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor abszolút konvergens.
Ha \(A > 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor divergens.
Ha \(A = 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor lehet konvergens és divergens is.
2. Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyökkritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Válaszát példákkal is illusztrálja
A \(\lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) = 1\) egy határozatlan eset.
Példa 1 - Cauchy
\(a_n = \frac{1}{n} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)
\(\lim \sqrt[n]{n} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\sqrt[n]{|\dfrac{1}{n}|}) = 1\)
A \(\sum (\dfrac{1}{n + 1})\) a harmonikus sor, amely divergens.
Példa 2 - Cauchy
\(a_n = \frac{1}{n^2} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)
\(\lim \sqrt[n]{n^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\sqrt[n]{|\dfrac{1}{n^2}|}) = 1\)
A \(\sum (\dfrac{1}{(n + 1)^2})\) a szuperharmonikus sor, amely konvergens.
3. Végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskritérium
Legyen \(a: \N \to \R\) olyan sorozat, amelyre \(a_n \neq 0 \; (n \in \N)\), és \(\quad \exist \; A := \lim\left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) \in \overline{\R}\).
Ha \(a < 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor abszolút konvergens.
Ha \(a > 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor divergens.
Ha \(a = 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor lehet konvergens és divergens is.
4. Mit jelent az, hogy a D'Alembert-féle hányadoskritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt
A \(\lim\limits_{n \to + \infin} \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = 1\) egy határozatlan eset.
Példa 1 - D'Alembert
\(a_n = \dfrac{1}{n} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)
\(\lim \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{\frac{1}{n + 1}}{\frac{1}{n}}\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{n}{n + 1}\right) = 1\)
A \(\sum \left(\dfrac{1}{n}\right)\) a harmonikus sor, amely divergens.
Példa 2 - D'Alembert
\(a_n = \dfrac{1}{n^2} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)
\(\lim \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{n^2}{(n + 1)^2}\right) = 1\)
A \(\sum \left(\dfrac{1}{n^2}\right)\) a szuperharmonikus sor, amely konvergens.
5. Leibniz-típusú sorok konvergencia-tétele
Leibniz-típusú sor: \(\sum\limits_{n=1} (-1)^{n+1} \cdot a_n \; = \; a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots\)
A Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(\; \lim (a_n) = 0\).
6. Milyen hibabecslést tud adni a Leibniz-típusú sorok összegeire?
Leibniz-típusú sor: \(\sum\limits_{n=1} (-1)^{n+1} \cdot a_n \; = \; a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots\)
Tegyük fel, hogy a Leibniz-típusú sor konvergens és az összege \(\; A := \sum\limits_{n=1}^{+ \infin} (-1)^{n+1} \cdot a_n\)
Ekkor \(\; \left|A \; - \; \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \cdot a_k \right| \leq a_{n + 1} \quad (n \in \N^+)\)
7. Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelezését?
Definíció
Legyen \(m : \N \rightarrow \N \uparrow\), valamint \(a : \R \rightarrow \N\) Képezzük az \(\alpha : \N \rightarrow \N\) sorozatot a következőképpen
Ekkor a \(\sum(\alpha_k)\) sort a \(\sum(a_k)\) sor egy zárójelezésénk nevezzük. Az \((m_k)\) sorozatot a \(\sum(\alpha_k)\) sor zárójelezett sorozatának nevezzük.
Tétel
Ha egy sor konvergens, akkor bármely zárójelezése is konvergens és a zárójelezett
(TODO)
8. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor \(\sum \alpha_n\) zárójelezéseinek a konvergenciájáról?
Egy konvergens sor minden zárójelezése is konvergens sor, és összege az eredeti sor összegével egyenlő.
9. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor valamely \(\sum \alpha_n\) zárójelezett sora konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a \(\sum a_n\) végtelen sor?
Legyen \(\sum\limits_{n=1} \alpha_n\) a \(\sum\limits_{n=1} a_n\) sor \((m_n)\) indexsorozat által meghatározott zárójelezése.
Tegyük fel, hogy
- a zárójelek hossza korlátos, azaz \((m_{n+1} - m_n)\) korlátos sorozat,
- \(\lim (a_n) = 0\),
- a \(\sum\limits_{n=1} \alpha_n\) sor konvergens.
Ekkor a \(\sum\limits_{n=1} a_n\) is konvergens, és \(\sum\limits_{n=1}^{+ \infin} \alpha_n \; = \; \sum\limits_{n=1}^{+ \infin} a_n\).
10. Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését?
Legyen \(\sum a_n\) egy adott végtelen sor. Tegyük fel, hogy \((p_n): \N \to \N\) egy bijekció, (más szóval \(p\) egy permutációja \(\N\)-nek). Ekkor a \(\sum a_{p_n}\) végtelen sort a \(\sum a_n\) sor \((p_n)\) által meghatározott átrendezésének nevezzük.
11. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően?
Ha a \(\sum a_n\) végtelen sor abszolút konvergens, akkor tetszőleges \((p_n): \N \to \N\) permutációval képzett \(\sum a_{p_n}\) átrendezése is konvergens, és
\(\sum\limits_{n=0}^{+ \infin} a_{p_n} \; = \; \sum\limits_{n=0}^{+ \infin} a_n\).
Tehát egy abszolút konvergens sor bármely átrendezése is abszolút konvergens sor, és összege ugyanaz, mint az eredeti soré.