9. gyakorlatra

1. A \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok téglányszorzata

\(\sum \limits_{n=0} t_n\)

\(t_n \; := \sum \limits_{\max \{i, j\} = n} a_i \; b_j \quad \quad (n \in \N, \; \; n \geq 0)\)

2. A \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok Cauchy-szorzata

\(\sum \limits_{n=0} \; c_n\)

\(c_n \; := \sum \limits_{i+j=n} a_i \; b_j \; = \; \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \; b_{n-k} \quad \quad (n \in \N, \; \; n \geq 0)\)

3. Milyen tételt ismer végtelen sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően?

Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) és a \(\sum b_n\) végtelen sorok konvergensek. Ekkor a \(\sum t_n\) téglányszorzatuk is konvergens és

\(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} t_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} a_n \cdot \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} b_n\)

Azaz konvergens sorok téglányszorzata is konvergens, és a téglányszorzat összege a két sor összegének szorzatával egyezik meg.

4. Abszolút konvergens sorok szorzataira vonatkozó tétel

Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) és a \(\sum b_n\) végtelen sorok mindegyike abszolút konvergensek.

Ekkor:

a \(\sum \limits_{n=0} t_n\) téglányszorzat is abszolút konvergens
a \(\sum \limits_{n=0} c_n\) Cauchy-szorzat is abszolút konvergens
az összes \(a_i b_j\) \((i, j \in \N)\) szorzatból tetszés szerinti sorrendben és csoportosításban képzett \(\sum \limits_{n=0} d_n\) végtelen sor is abszolút konvergens, és

\(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} d_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} t_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} c_n \; = \; \left(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} a_n\right) \cdot \left(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} b_n\right)\)

5. Hatványsor definíciója

Legyen \(\; x_0, x \in \R, \; \; a: \N \to \R\).

Ekkor a

\(\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k) \; = \; a_0 + a_1 \cdot (x - x_0) + a_2 \cdot (x - x_0)^2 + \dots \quad \quad (x \in \R)\)

sort hatványsornak nevezzük.

\(x_0:\) a hatványsor középpontja
az \(a_k\) számok a hatványsor együtthatói

6. Hogyan szól a hatványsor konvergenciahalmazára vonatkozó, a konvergenciasugarát meghatározó tétel?

A \(H = \{x \in \R: \sum (a_k \cdot (x - x_0)^k \; \text{konvergens})\}\) halmazt a \(\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k)\) hatványsor konvergenciahalmazának nevezzük.

\(R\): a hatványsor konvergenciasugara

Tetszőleges \(\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k)\) hatványsor konvergenciahalmazára a következő 3 eset egyike áll fent:

(1.) \(\exist \; 0 < R < + \infin\), hogy a hatványsor

\(\; \quad \forall x \in \R: |x - x_0| < R\) pontban abszolút konvergens és

\(\; \quad \forall x \in \R: |x - x_0| > R\) pontban divergens

(2.) A hatványsor csak az \(x = x_0\) pontban konvergens. Ekkor legyen \(R := 0\).

(3.) A hatványsor abszolút konvergens \(\forall x \in \R\) esetén. Ekkor legyen \(R := + \infin\).

7. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1)\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=0} x^n\right) \; = \; (-1, 1)\)

8. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1]\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=1} \frac{(-1)^n}{n} x^n\right) \; = \; (−1, 1]\)

9. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1)\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=1} \frac{1}{n} x^n\right) \; = \; [−1, 1)\)

10. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1]\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=1} \frac{1}{n^2} x^n\right) \; = \; [−1, 1]\)

11. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az \(a = 2\) pontban konvergens

\(\sum n^n (x - 2)^n\)

12. Definiálja az \(\exp\) függvényt

\(\exp(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \frac{x^n}{n!} \; = \; 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \quad (x \in \R)\)

13. Definiálja a \(\sin\) függvényt

\(\sin(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \; = \; x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \quad (x \in \R)\)

14. Definiálja a \(\cos\) függvényt

\(\cos(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \; = \; 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \quad (x \in \R)\)