10. gyakorlatra
1. Mit jelent az, hogy \(a \in \overline{\R}\) torlódási pontja a \(H \subset \R\) halmaznak?
\(a \in \R\) az \(A \subset \R\) halmaz torlódási pontja, ha az \(a\) minden környezetében az \(A\) halmaznak végtelen sok pontja van:
\(\forall \; \varepsilon > 0\) esetén \(K_{\varepsilon}(a) \cap A\).
Az \(A\) halmaz torlódási pontjainak halmazát \(A'\)-vel jelöljük, és az \(A\) derivált halmazának nevezzük.
2. Mit jelent az, hogy \(a \in H\) izolált pontja a \(H \subset \R\) halmaznak?
\(\exist \; \varepsilon > 0\): \((K_{\varepsilon}(a) \; \text{\textbackslash} \; \{a\}) \cap A \; = \; \empty\)
3. Hogyan értelmezi egy \(f \in \R \to \R\) függvénynek egy \(a \in D'_f\) helyen vett határértékét?
Azt mondjuk, hogy az \(\; f \in \R \to \R \;\) függvénynek az \(\; a \in D'_f \;\) pontban van határértéke, ha
\(\exists \; A \in \overline{\R}\), \(\; \forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exist \delta > 0 \;\), \(\forall x \in \left(K_{\delta}(a) \; \text{\textbackslash} \; \{a\}\right) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A)\).
Ekkor \(A\)-t a függvény \(a\)-beli határértékének nevezzük.
Jelei:
- \(\lim \limits_{x \to a} \; f(x) = A\)
- \(\lim \limits_{a} \; f = A\)
- \(f(x) \to A\), ha \(\; x \to a\)
4. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját
- \(a \in \R\)
- \(A \in \R\)
\(\forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta\):
\(|f(x) - A| < \varepsilon\)
5. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett \(+ \infin\) határérték definícióját
- \(a \in \R\)
- \(A = +\infin\)
\(\forall P > 0\)-hoz \(\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta\):
\(f(x) > P\)
6. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett \(- \infin\) határérték definícióját
- \(a \in \R\)
- \(A = -\infin\)
\(\forall P < 0\)-hoz \(\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta\):
\(f(x) < P\)
7. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a \(+ \infin\)-ben vett véges határérték definícióját
- \(a = +\infin\)
- \(A \in \R\)
\(\forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0\):
\(|f(x) - A| < \varepsilon\)
8. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a \(+ \infin\)-ben vett \(+ \infin\) határérték definícióját
- \(a = +\infin\)
- \(A = +\infin\)
\(\forall P > 0\)-hoz \(\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0\):
\(f(x) > P\)
9. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a \(+ \infin\)-ben vett \(- \infin\) határérték definícióját
- \(a = +\infin\)
- \(A = -\infin\)
\(\forall P < 0\)-hoz \(\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0\):
\(f(x) < P\)
10. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet
Legyen \(f \in \R \to \R\), \(\; a \in D'_f \;\) és \(\; A \in \overline{\R} \;\). Ekkor
\(\lim \limits_{a} \; f = A \; \iff \; \forall (x_n): \N \to D_f \; \text{\textbackslash} \; \{a\},\)
\(\lim \limits_{n \to +\infin} x_n = a \;\) esetén \(\; \lim \limits_{n \to +\infin} f(x_n) = A\)
11. Hogyan szól a függvények szorzatának a határértékére vonatkozó tétel?
Legyen \(\; f \in \R \to \R, \;\; g \in \R \to \R\).
Ha \(a \in (D_f \; \cap \; D_g)' \;\) és
- \(\exist \lim\limits_{a} f = A \in \overline{\R}\)
- \(\exist \lim\limits_{a} g = B \in \overline{\R}\),
akkor
\(\exist \lim\limits_{a} (f \cdot g)\) és \(\lim\limits_{a} (f \cdot g) = A \cdot B\)
feltéve, hogy a jobb oldali művelet értelmezve van.
12. Hogyan szól a függvények hányadosának a határértékére vonatkozó tétel?
Legyen \(\; f \in \R \to \R, \;\; g \in \R \to \R\).
Ha \(a \in (D_f \; \cap \; \{x \in D_g: g(x) \neq 0\})' \;\) és
- \(\exist \lim\limits_{a} f = A \in \overline{\R}\)
- \(\exist \lim\limits_{a} g = B \in \overline{\R}\),
akkor
\(\exist \lim\limits_{a} \dfrac{f}{g}\) és \(\lim\limits_{a} \dfrac{f}{g} = \dfrac{A}{B}\)
feltéve, hogy a jobb oldali művelet értelmezve van.
13. Definiálja függvény jobb oldali határértékét
Legyen \(f \in \R \to \R\). Tegyük fel, hogy \(a \in (D_f)'_+\). Tekintsük a \(J_a = D_f \cap (a, +\infin)\) halmazt, és az \(f\) függvénynek az erre való f_{J_a} leszűkítését.
Ha az \(f_{J_a}\) függvénynek létezik az a pontban határértéke, akkor azt az \(f\) függvény a pontbeli jobb oldali határértékének nevezzük.
Jelölés: \(\lim\limits_{a+0} f \; := \; \lim\limits_{a} f_{J_a}\)