Vizsga kérdések

Kérdések: 138 db

1. Hogyan értelmezi a függvény fogalmát?

Legyen \(A\) és \(B\) tetszőleges nemüres halmaz.

A \(\; \empty \neq f \subset A \times B\) relációt függvénynek nevezzük, ha

\(\forall \; x \in D_f \;\) esetén \(\; \exist! \; y \in R_f : (x, y) \in f\).

• Helyettesítési érték: az \(f\) függvény \(x\) helyen felvett értéke
  • Jele: \(y\) vagy \(f(x)\)
• Az \(f\) függvény az \(x\)-hez az \(f(x)\) függvényértéket rendeli.

2. Mikor nevez egy függvényt invertálhatónak (vagy injektívnek)?

Az \(f : A \to B\) függvényt invertálható, ha a \(D_f = A\) értelmezési tartomány bármely két különböző pontjának a képe különböző, azaz

3. Definiálja az inverz függvényt

Feltesszük, hogy f invertáltahó, azaz

Ekkor \(f\) inverz függvénye:

4. Mit mond ki a Dedekind-axióma vagy szétválasztási axióma?

Tegyük fel, hogy az \(A, B \subset \R\) halmazokra a következők teljesülnek:

• \(A \neq \empty \;\) és \(\; B \neq \empty\)
• minden \(a \in A \;\) és minden \(b \in B\) elemre \(a \leq b\)

Ekkor \(\; \exist \; \xi \in \R: \; \forall a \in A \;\) és \(\; b \in B \;\) esetén \(\; a \leq \xi \leq b\)

5. Mikor nevez egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmazt felülről korlátosnak?

A \(\empty \neq A \subset \R\) felülről korlátos, ha

\(\exist \; K \in \R\), hogy \(\forall x \in H\) esetén \(x \le K\).

A \(K\) szám a \(H\) halmaz felső korlátja.

6. Írja le pozitív állítás formájában azt, hogy egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmaz felülről nem korlátos?

Van egy \(\; \empty \neq A \subset \R\) halmazunk. Minden \(K \in \R\)-re létezik \(a \in A\), hogy \(a > K\).

7. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmaz korlátos

Az \(\empty \neq A \subset \R\) korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, azaz

\(\exists K \in \R\), hogy \(\forall \; x \in A\) esetén \(|x| \le K\).

8. Fogalmazza meg a szuprémum elvet

Legyen \(H \subset \R\) és tegyük fel, hogy

• \(H \neq \empty\) és
• \(H\) felülről korlátos

Ekkor \(\exists \; min\{K \in \R \; | \; K \; \text{felső korlátja} \; H\text{-nak}\}\).

(A felső korlátok között van legkisebb.)

9. Mi a szuprémum definíciója?

A felülről korlátos \(\empty \neq H \subset \R\) számhalmaz legkisebb felső korlátját \(H\) szuprémumának nevezzük.

Jele: \(sup \; H\)

10. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy \(\xi = \text{sup} \; H \in \R\)

\(\xi \; = \; sup \; H \quad \quad \Longleftrightarrow\)

• \(\xi\) felső korlát, azaz \(\forall \; x \in H: x \le \xi\)
• A legkisebb felső korlát, azaz \(\forall \; \varepsilon > 0\)-hoz \(\exists \; x \in H: \xi - \varepsilon < x\)

11. Mi az infimum definíciója?

A alulról korlátos \(\empty \neq H \subset \R\) számhalmaz legnagyobb alsó korlátját \(H\) infimumának nevezzük.

Jele: \(inf \; H\)

12. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy \(\xi = \text{inf} \; H \in \R\)

\(\xi \; = \; inf \; H \quad \quad \Longleftrightarrow\)

• \(\xi\) alsó korlát, azaz \(\forall \; x \in H: x \ge \xi\)
• A legnagyobb alsó korlát, azaz \(\forall \; \varepsilon > 0\)-hoz \(\exists \; x \in H: \xi + \varepsilon > x\)

13. Mi a kapcsolat egy halmaz maximuma és a szuprémuma között?

\(\exists \; max \; H \; \Longleftrightarrow \; sup \; H \in H\) és akkor \(sup \; H = max \; H\)

14. Mi a kapcsolat egy halmaz minimuma és az infimuma között?

\(\exists \; min \; H \; \Longleftrightarrow \; inf \; H \in H\) és akkor \(inf \; H = min \; H\)

15. Írja le az arkhimédészi tulajdonságot

\(\forall a > 0\,:\;\forall b \in \R\,:\;\exists n \in \N\,:\;b<n\cdot a\)

16. Mit állít a Cantor-tulajdonság?

THF. minden \(n\) természetes számra adott az \([a_n,b_n] \subset \R\) korlátos és zárt intervallum úgy, hogy

Ekkor

17. Definiálja halmaznak függvény által létesített képét

Legyen \(f:A\rightarrow B\) egy adott függvény és \(C \subset A\). Ekkor a \(C\) halmaz \(f\) által létesített képe:

Megállapodunk abban, hogy \(f[\emptyset] = \emptyset\).

18. Definiálja halmaznak függvény által létesített ősképét

Legyen \(f : A \rightarrow B\) egy adott függvény és \(D \subset B\). Ekkor a \(D\) halmaz \(f\) által létesített ősképe:

Megállapodunk abban, hogy \(f^{-1}[\emptyset] = \emptyset\)

19. Mi a definíciója az összetett függvénynek?

TFH. \(\quad f : A \rightarrow B \quad\text{és}\quad g : C \rightarrow D\) olyan függvények, melyekre

Ebben az esetben \(f\) és \(g\) összetett függvénye:

20. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat felülről korlátos?

\(\exists \; K \in \R\,:\;a_n\le K\quad(n\in\N)\)

21. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy valós sorozat felülről nem korlátos

\(\forall \; K \in \R\,:\;a_n > K\quad(n\in\N)\)

22. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy valós számsorozat korlátos

\(\exists \; K > 0\,:\;|a_n|\le K\)

23. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton növő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat monoton növekedő, ha \(\; a_{n+1} \geq a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\nearrow\)

24. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton növő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat szigorúan monoton növekedő, ha \(\; a_{n+1} > a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\uparrow\)

25. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton csökkenő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat monoton csökkenő, ha \(\; a_{n+1} \leq a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\searrow\)

26. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton csökkenő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha \(\; a_{n+1} < a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\downarrow\)

27. Adja meg az \(a \in \R\) középpontú \(r > 0\) sugarú környezet fogalmát

Valamilyen \(a \in \R\) és \(r > 0\) esetén a

\(K_r(a) := \{x \in \R \; | \; |x - a| < r\}\)

halmazt az \(a\) középpontú \(r\) sugarú környezetének nevezzük.

28. Adja meg a \(+ \infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének a fogalmát

Legyen \(r > 0\) valós szám. Ekkor a \(+ \infin\) elem \(r\) sugarú környezetét így értelmezzük:

\(K_r(+ \infin) := \left(\dfrac{1}{r}, \; + \infin \right)\)

29. Adja meg a \(− \infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének a fogalmát

Legyen \(r > 0\) valós szám. Ekkor a \(- \infin\) elem \(r\) sugarú környezetét így értelmezzük:

\(K_r(- \infin) := \left(- \infin, \; - \dfrac{1}{r} \right)\)

30. Mit ért azon, hogy egy számsorozat konvergens?

Azt mondjuk, hogy az \(\; a: \N \to \R \;\) sorozat konvergens, ha \(\; \exist \; A \in \R \;\) szám, amelyre

\(\; \forall \; \varepsilon > 0 \;\) számhoz \(\; \exist \; n_0 \in \N \;\), hogy \(\; \forall \; n > n_0 \;\) indexre \(\; |a_n - A| < \varepsilon \;\).

• \(A\): A sorozat határértéke
• \(n_0\): \(\varepsilon\)-hoz tartozó küszöbindex

31. Mit ért azon, hogy egy számsorozat divergens?

A nem konvergens sorozatokat nevezzük divergensnek.

\(\forall \; A \in \R \,:\; \exists \; \varepsilon > 0\,:\; \forall \; n_0 \in \N\,:\;\exists n > n_0\,:\;|a_n - A| \ge \varepsilon\)

32. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy számsorozat divergens

A nem konvergens sorozatokat nevezzük divergensnek.

Azt mondjuk, hogy az \(\; a: \N \to \R \;\) sorozat divergens, ha \(\; \forall \; A \in \R \;\) szám esetén

\(\; \exist \; \varepsilon > 0 \;\), hogy \(\; \forall \; n_0 \in \N \;\), indexhez \(\exist\) nála nagyobb \(\; n > n_0 \;\) index, amelyre \(\; |a_n - A| \geq \varepsilon \;\).

33. Milyen állítást ismer sorozatok esetén a konvergencia és a korlátosság kapcsolatáról?

Ha az \((a_n)\) sorozat konvergens, akkor korlátos is.

34. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak \(+ \infin\) a határértéke?

\(\forall P > 0\,:\;\exists n_0\in\N,\,\forall n > n_0\,:\;a_n>P\)

Jelölések:

• \(\lim(a_n)=+\infin\)

• \(\underset{n\rightarrow +\infin}{\lim} = +\infin\)

• \(a_n \rightarrow + \infin,\quad\text{ha}~~n \rightarrow + \infin\)

35. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak \(− \infin\) a határértéke?

\(\forall P < 0\,:\;\exists n_0\in\N,\,\forall n > n_0\,:\;a_n < P\)

Jelölések:

• \(\lim(a_n)=-\infin\)

• \(\underset{n\rightarrow +\infin}{\lim} = -\infin\)

• \(a_n \rightarrow - \infin,\quad\text{ha}~~n \rightarrow + \infin\)

36. Környezetekkel fogalmazza meg azt, hogy az \((a_n)\) valós számsorozatnak (tágabb értelemben) van határértéke

\(a_n\) sorozatnak akkor van határértéke, ha:

37. Hogyan definiálja egy sorozat részsorozatát?

Legyen \(a = (a_n):\N\rightarrow\R\) egy valós sorozat, és \(v=(v_n)\) egy szigorúan monoton növeketőd sorozat (indexsorozat).

Ekkor az (\(a_n\)) sorozat \(v\) indexsorozat által meghatározott részsorozata:

38. Mit tud mondani konvergens sorozatok részsorozatairól?

Egy sorozatnak akkor és csak akkor van határértéke, ha minden részsorozatának van határértéke, és mindegyike ugyanahhoz a határértékhez tart.

39. Milyen tételt tud mondani valós sorozatok és monoton sorozatok viszonyáról?

Minden \(a = (a_n)\) valós sorozatnak létezik monoton részsorozata, azaz létezik olyan \(ν = (ν_n)\) indexsorozat, amellyel \(a \circ ν\) monoton növekedő vagy monoton csökkenő.

40. Mit értettünk egy valós sorozat csúcsán?

\(a_{n_0}\) az \((a_n)\) sorozat csúcsa, ha \(\; \forall n \ge n_0\,:\; a_n \le a_{n_0}\)

41. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\), a \((b_n)\) és a \((c_n)\) sorozatokra teljesülnek a következők:

• \(\exist \; N \in \N\), hogy \(\forall \; n > N\): \(\; \; (a_n) \leq (b_n) \leq (c_n)\)
• Az \((a_n)\) és a \((c_n)\) sorozatnak van határértéke
• \(\lim (a_n) = \lim (c_n) = \; A \in \overline{\R}\)

Ekkor a \((b_n)\) sorozatnak is van határértéke, amely \(\lim (b_n) = A\)

42. Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, ill. határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között?

Tegyük fel hogy, az \((a_n)\) és \((b_n)\) sorozatnak van határértéke.

Ekkor:

• Ha \(\lim (a_n) < \lim (b_n) \; \Rightarrow \; n \in \N\) esetén \(a_n < b_n\)
• Ha \(a_n \leq b_n\) m.m \(n \in \N\) indexre, akkor \(\lim (a_n) \leq \lim (b_n)\)

43. Igaz-e az, hogy ha az (\(a_n\)) és a (\(b_n\)) sorozatoknak van határértéke és \(a_n > b_n\) minden \(n\)-re, akkor \(\lim (a_n) > \lim (b_n)\)? A válaszát indokolja

Nem, a két sorozat tarthat ugyanoda, például:

\(a_n:=\dfrac{1}{n}\qquad b_n:=-\dfrac{1}{n}\)

Így

\(a_n > b_n\qquad \lim(a_n) = \lim(b_n) = 0\)

44. Mit tud mondani nullsorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy \(\lim (a_n) = 0\) és \(\lim (a_b) = 0\). (Nullsorozatok.)

Ekkor az összegük azaz \((a_n) + (b_n)\) is nullsorozat.

45. Mit tud mondani korlátos sorozat és nullsorozat szorzatáról?

Tegyük fel hogy \(\lim (a_n) = 0\).

Ha \((c_n)\) korlátos sorozat, akkor (\(c_n \cdot a_n\)) is nullasorozat.

46. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és} \quad\lim (a_n/b_n) = 7\)

47. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és} \quad\lim (a_n/b_n) = +\infin\)

48. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : \N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és a} \;\lim (a_n/b_n)\) határérték nem létezik

49. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor \((a_n + b_n)\) is konvergens és \(\lim (a_n + b_n) = \lim(a_n) + \lim(b_n) = A + B\)

50. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor \((a_n \cdot b_n)\) is konvergens és \(\lim (a_n \cdot b_n) = \lim(a_n) \cdot \lim(b_n) = A \cdot B\)

51. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor ha \(b_n \neq 0 \; (n \in \N)\) és \(\lim(b_n) = B \neq 0\) akkor $$ \left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)\; \text{is konvergens és} \lim \left( \dfrac{a_n}{b_n} \right) = \dfrac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)} = \dfrac{A}{B} $$

52. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről?

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

• \(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
• \(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor az összegük:

\(\exist \; \lim (a_n + b_n)\) és \(\lim (a_n + b_n) \; = \; \lim (a_n) + \lim (b_n) \; = \; A + B\)

Feltéve, hogy az \(A + B\) művelet értelmezve van.

53. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról?

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

• \(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
• \(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor a sorzatuk:

\(\exist \; \lim (a_n \cdot b_n)\) és \(\lim (a_n \cdot b_n) \; = \; \lim (a_n) \cdot \lim (b_n) \; = \; A \cdot B\)

Feltéve, hogy az \(A \cdot B\) művelet értelmezve van.

54. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról?

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

• \(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
• \(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor a sorzatuk:

\(\exist \; \lim \bigg(\dfrac{a_n}{b_n}\bigg)\) és \(\quad \lim \bigg(\dfrac{a_n}{b_n}\bigg) \; = \; \dfrac{\lim a_n}{\lim b_n} \; = \; \dfrac{A}{B}\)

Feltéve, hogy az \(\dfrac{A}{B}\) művelet értelmezve van és \((b_n) \neq 0 \; (n \in \N)\).

55. Milyen tételt ismer monoton csökkenő sorozatok határértékével kapcsolatban?

Ha \((a_n)\) monoton csökken, akkor

56. Legyen \(q \in \R\). Mit tud mondani a (\(q^n\)) sorozatról határérték szempontjából?

\(\lim q^n = \begin{cases} 0, \quad ha \; |q| < 1 \\ 1, \quad ha \; q > 1 \\ + \infin, \quad ha \; q = 1 \\ \nexists, \text{nem létezik} \quad ha \; q \leq -1 \end{cases}\)

57. Adja meg az e számot definiáló sorozatot

\(\text{konvergens, mert:} \begin{cases} \text{szigorú monoton növekedő \; és}\\ \text{felülről korlátos} \end{cases}\)

Legyen \(\; e := \lim\limits_{n \to + \infin} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\)

58. Fogalmazza meg egy valós szám \(m\)-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt! Adjon olyan eljárást, amivel ezek a számok nagy pontossággal előállíthatók

Megfogalmazás

• Legyen \(A > 0 \quad (A \in \R)\).
• Legyen \(m \geq 2 \quad (m \in \N)\).

Ekkor:

Pontosan egy olyan \(\alpha > 0 \; (\alpha \in \R)\) szám létezik, amelyre \(\alpha^m = A\).

\(\alpha\)-t az \(A\) szám \(m\)-edik gyökének nevezzük, és az \(\sqrt[m]{\alpha}\) szimbólummal jelöljük.

Eljárás

Az \(a_0 > 0\) tetszőleges valós szám.

Az \(\; a_{n+1} := \dfrac{1}{m} \cdot \left(\dfrac{A}{a_n^{m-1}} + (m - 1) \cdot a_n \right) \quad\) \((n \in \N)\)

rekurzióval értelmezett \((a_n)\) sorozat határértéke \(\; \sqrt[m]{A} \;\) azaz \(\\ \lim\limits_{n \to + \infin} a_n = \alpha = \sqrt[m]{A}\).

59. Hogyan szól a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel?

Minden, korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata.

Ez abból következik, hogy minden valós sorozatnak létezik monoton részsorozata.

60. Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak?

Az (\(a_n\)) sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha

61. Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között?

Cauchy-sorozat egyszerűen megfogalmazva:

(\(a_n\)) akkor Cauchy-sorozat, ha az elég nagy indexű tagjai tetszőlegesen közel vannak egymáshoz

Ezek alapján ha egy sorozat konvergens akkor Cauchy-sorozat is.

62. Mi a végtelen sor definíciója?

Az \((a_n): \N \to \R\) sorozatból képzett

\(s_n := a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n \quad (n \to \N)\)

sorozatot az \((a_n)\) által generált végtelen sornak (röviden sornak) nevezzük.

Jelölései:

• \(\sum a_n\)
• \(\sum\limits_{n=0}\)
• \(a_0 + a_1 + a_2 + \dots\)

Ekkor az mondjuk, hogy \(s_n\) a \(\sum a_n\) sor n. részletösszege, illetve \(a_n\) a \(\sum a_n\) sor n. tagja, ahol \(n \in \N\).

63. Mit jelent az, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?

Konvergens

Azt mondjuk, hogy az \(a: \N \to \R\) sorozat által generált végtelen sor konvergens, ha a \(\sum a\) sorozat, azaz a részletösszegek sorozata konvergens.

Összeg

A végtelen sor határértéke: \(\sum\limits_{k=0}^{+ \infin} a_k := \lim \sum a = \lim (s_n)\)

A végtelen sor határértékét a sor összegének nevezzük.

64. Milyen tételt ismer \(q \in \mathbb{R}\) esetén a \(\underset{n=0}{\sum}q^n\) geometriai sor konvergenciájáról?

Tetszőleges \(q^n\,:\;q\in\R\) sorozatból képzett \(\underset{n=0}{\sum}q^n\) mértani sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(|q|<1\).

65. Mi a harmonikus sor, és milyen állítást ismer a konvergenciájával kapcsolatban?

\(\sum\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\) sor divergens. Mivel a sor pozitív tagú, ezért a részletösszegek \(\nearrow\) sorozatának határértéke + \(\infty\)

Biz.:

Legyen \(n \in \N, \, n \ge 1\) ekkor

Következésképpen a \(\sum\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\) sorra \(\varepsilon = \dfrac{1}{2}\) választással nem teljesül a Cauchy-féle konvergecia kritérium

?66. Milyen állítást ismer a \(\; \sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}\) hiperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban?

Legyen \(\alpha\) rögzített valós szám.

A \(\sum \left(\dfrac{1}{(n+1)^\alpha}\right) = 1 + \dfrac{1}{2^\alpha}+\dfrac{1}{3^\alpha}+\dfrac{1}{4^\alpha}+\dots\)

hiperharmonikus sor

• \(\alpha \le 1\) esetén divergens, és \(\displaystyle\sum^{+\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{n^\alpha} = +\infty\)
• \(\alpha > 1\)

67. Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra?

A \(\sum a\) sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(\forall \varepsilon > 0\) számhoz \(\exists N \in \N\) küszöbindex hogy $\forall m,n > N $ (pl. m > n) esetén \(|s_m -s_n | = | a_{n+1} + \dots + a_m | < \varepsilon\) ahol \((s_n)\) a részletösszegek sorozatát jelöli.

68. Mondja ki a tanult szükséges feltételt a \(\sum(a_n)\) végtelen sor konvergenciájára

Ha az \((a_n)\) sorozat által genrált \(\sum(a_n)\) sor konvergens, akkor \((a_n)\) nullsorozat.

Nullsorozatból generálható konvergens sor. Ez szükséges, de nem elégséges feltétel.

!!! info "(nem tehát ha \((a_n)\) nullasorozat akkor a sor nem biztos, hogy konvergens, de ha a sor konvergens, akkor \((a_n)\) biztos, hogy nullasorozat

69. Igaz-e, hogy ha \(\lim (a_n) = 0\), akkor \(\sum a_n\) sor konvergens? A válaszát indokolja

Nem igaz az állítás. Ugyan a \(\lim (a_n) = 0\) egy szükséges feltétel, de nem elégséges. Attól, hogy teljesül még nem biztos, hogy a sor konvergens.

70. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumokat

Legyen \(0 \leq a_n \leq b_n \quad (n \in \N)\).

Majoráns kritérium

Ha \(\sum(b_n)\) konvergens, akkor \(\sum(a_n)\) is konvergens.

Minoráns kritérium

Ha \(\sum(a_n)\) divergens, akkor \(\sum(b_n)\) is divergens.

71. Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek?

A \(\sum a_n\) sor abszolút konvergens, ha a \(\sum |a_n|\) sor konvergens.

Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

72. Mikor nevez egy végtelen számsort feltételesen konvergensnek?

A \(\sum a_n\) sor feltételesen konvergens, ha \(\sum a_n\) konvergens, de nem abszolút konvergens.

73. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritériumot

Legyen \(a: \N \to \R\) olyan sorozat, amelyre \(\exist \; A := \lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \overline{\R}\).

Ha \(A < 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor abszolút konvergens.

Ha \(A > 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor divergens.

Ha \(A = 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor lehet konvergens és divergens is.

74. Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyökkritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Válaszát példákkal is illusztrálja

A \(\lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) = 1\) egy határozatlan eset.

Példa 1 - Cauchy

\(a_n = \dfrac{1}{n} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)

\(\lim \sqrt[n]{n} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\sqrt[n]{|\dfrac{1}{n}|}) = 1\)

A \(\sum (\dfrac{1}{n + 1})\) a harmonikus sor, amely divergens.

Példa 2 - Cauchy

\(a_n = \dfrac{1}{n^2} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)

\(\lim \sqrt[n]{n^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\sqrt[n]{|\dfrac{1}{n^2}|}) = 1\)

A \(\sum (\dfrac{1}{(n + 1)^2})\) a szuperharmonikus sor, amely konvergens.

75. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskritériumot

Legyen \(a: \N \to \R\) olyan sorozat, amelyre \(a_n \neq 0 \; (n \in \N)\), és \(\quad \exist \; A := \lim\left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) \in \overline{\R}\).

Ha \(a < 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor abszolút konvergens.

Ha \(a > 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor divergens.

Ha \(a = 1\), akkor a \(\sum(a_n)\) sor lehet konvergens és divergens is.

76. Mit jelent az, hogy a D'Alembert-féle hányadoskritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt

A \(\lim\limits_{n \to + \infin} \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = 1\) egy határozatlan eset.

Példa 1 - D'Alembert

\(a_n = \dfrac{1}{n} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)

\(\lim \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{\dfrac{1}{n + 1}}{\dfrac{1}{n}}\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{n}{n + 1}\right) = 1\)

A \(\sum \left(\dfrac{1}{n}\right)\) a harmonikus sor, amely divergens.

Példa 2 - D'Alembert

\(a_n = \dfrac{1}{n^2} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)\)

\(\lim \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{n^2}{(n + 1)^2}\right) = 1\)

A \(\sum \left(\dfrac{1}{n^2}\right)\) a szuperharmonikus sor, amely konvergens.

77. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban?

Leibniz-típusú sor: \(\sum\limits_{n=1} (-1)^{n+1} \cdot a_n \; = \; a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots\)

A Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(\; \lim (a_n) = 0\).

78. Milyen hibabecslést tud adni a Leibniz-típusú sorok összegeire?

Leibniz-típusú sor: \(\sum\limits_{n=1} (-1)^{n+1} \cdot a_n \; = \; a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots\)

Tegyük fel, hogy a Leibniz-típusú sor konvergens és az összege \(\; A := \sum\limits_{n=1}^{+ \infin} (-1)^{n+1} \cdot a_n\)

Ekkor \(\; \left|A \; - \; \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \cdot a_k \right| \leq a_{n + 1} \quad (n \in \N^+)\)

79. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens

\(\underset{n=1}{\sum}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\)

80. Mit értünk egy \([0, 1]\)-beli szám diadikus tört alakján?

\(\forall \alpha \in [0,1]\,:\;\exists\,(a_n)\,:\;\N^+\rightarrow \{0,\dots,p-1\}:\)

\(\forall \alpha \in [0,1]\,:\;\exists\,(a_n)\,:\;\N^+\rightarrow \{0,1\}:\)

81. Melyik \([0, 1]\)-beli számoknak nincs egyértelmű diadikus tört alakja?

Minden számnak egyértelműen létezik diadikus tört alakja, maximum nem véges

82. Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelezését?

Legyen \(\underset{n=1}{\sum}a_n\) egy végtelen sor és \((m_n)\,:\;\N\rightarrow\N\) szigorúan monoton növekvő indexsorozat, ahol \(m_0:=0\).

Ekkor \(\underset{n=1}{\sum}a_n\) sor \((m_n)\) indexsorozattal meghatározott zárójelezése az:

által definiált \(\underset{n=1}{\sum}\alpha_n\) végtelen sor.

83. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor \(\sum \alpha_n\) zárójelezéseinek a konvergenciájáról?

Egy konvergens sor minden zárójelezése is konvergens sor, és összege az eredeti sor összegével egyenlő.

84. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor valamely \(\sum \alpha_n\) zárójelezett sora konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a \(\sum a_n\) végtelen sor?

Legyen \(\sum\limits_{n=1} \alpha_n\) a \(\sum\limits_{n=1} a_n\) sor \((m_n)\) indexsorozat által meghatározott zárójelezése.

Tegyük fel, hogy

• a zárójelek hossza korlátos, azaz \((m_{n+1} - m_n)\) korlátos sorozat,
• \(\lim (a_n) = 0\),
• a \(\sum\limits_{n=1} \alpha_n\) sor konvergens.

Ekkor a \(\sum\limits_{n=1} a_n\) is konvergens, és \(\sum\limits_{n=1}^{+ \infin} \alpha_n \; = \; \sum\limits_{n=1}^{+ \infin} a_n\).

85. Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését?

Legyen \(\sum a_n\) egy adott végtelen sor. Tegyük fel, hogy \((p_n): \N \to \N\) egy bijekció, (más szóval \(p\) egy permutációja \(\N\)-nek). Ekkor a \(\sum a_{p_n}\) végtelen sort a \(\sum a_n\) sor \((p_n)\) által meghatározott átrendezésének nevezzük.

86. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően?

Ha a \(\sum a_n\) végtelen sor abszolút konvergens, akkor tetszőleges \((p_n): \N \to \N\) permutációval képzett \(\sum a_{p_n}\) átrendezése is konvergens, és

\(\sum\limits_{n=0}^{+ \infin} a_{p_n} \; = \; \sum\limits_{n=0}^{+ \infin} a_n\).

Tehát egy abszolút konvergens sor bármely átrendezése is abszolút konvergens sor, és összege ugyanaz, mint az eredeti soré.

87. Milyen állítást ismer feltételesen konvergens sorok átrendezéseit illetően?

Legyen \(\sum a_n\) feltételesen konvergens sor, ekkor:

• minden \(A \in \overline{\R}\) esetén létezik olyan átrendezése, amelynek összege \(A\)
• van olyan átrendezése, aminek nincs összege

88. Definiálja a \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok téglányszorzatát

\(\sum \limits_{n=0} t_n\)

\(t_n \; := \sum \limits_{\max \{i, j\} = n} a_i \; b_j \quad \quad (n \in \N, \; \; n \geq 0)\)

89. Definiálja a \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok Cauchy-szorzatát

\(\sum \limits_{n=0} \; c_n\)

\(c_n \; := \sum \limits_{i+j=n} a_i \; b_j \; = \; \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \; b_{n-k} \quad \quad (n \in \N, \; \; n \geq 0)\)

90. Milyen tételt ismer végtelen sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően?

Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) és a \(\sum b_n\) végtelen sorok konvergensek. Ekkor a \(\sum t_n\) téglányszorzatuk is konvergens és

\(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} t_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} a_n \cdot \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} b_n\)

Azaz konvergens sorok téglányszorzata is konvergens, és a téglányszorzat összege a két sor összegének szorzatával egyezik meg.

91. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzataira vonatkozó tételt

Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) és a \(\sum b_n\) végtelen sorok mindegyike abszolút konvergensek.

Ekkor:

1. a \(\sum \limits_{n=0} t_n\) téglányszorzat is abszolút konvergens
2. a \(\sum \limits_{n=0} c_n\) Cauchy-szorzat is abszolút konvergens
3. az összes \(a_i b_j\) \((i, j \in \N)\) szorzatból tetszés szerinti sorrendben és csoportosításban képzett \(\sum \limits_{n=0} d_n\) végtelen sor is abszolút konvergens, és

\(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} d_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} t_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} c_n \; = \; \left(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} a_n\right) \cdot \left(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} b_n\right)\)

92. Írja le a hatványsor definícióját

Legyen \(\; x_0, x \in \R, \; \; a: \N \to \R\).

Ekkor a

\(\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k) \; = \; a_0 + a_1 \cdot (x - x_0) + a_2 \cdot (x - x_0)^2 + \dots \quad \quad (x \in \R)\)

sort hatványsornak nevezzük.

• \(x_0:\) a hatványsor középpontja
• az \(a_k\) számok a hatványsor együtthatói

93. Hogyan szól a hatványsor konvergenciahalmazára vonatkozó, a konvergenciasugarát meghatározó tétel?

A \(H = \{x \in \R: \sum (a_k \cdot (x - x_0)^k \; \text{konvergens})\}\) halmazt a \(\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k)\) hatványsor konvergenciahalmazának nevezzük.

\(R\): a hatványsor konvergenciasugara

Tetszőleges \(\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k)\) hatványsor konvergenciahalmazára a következő 3 eset egyike áll fent:

(1.) \(\exist \; 0 < R < + \infin\), hogy a hatványsor

\(\; \quad \forall x \in \R: |x - x_0| < R\) pontban abszolút konvergens és

\(\; \quad \forall x \in \R: |x - x_0| > R\) pontban divergens

(2.) A hatványsor csak az \(x = x_0\) pontban konvergens. Ekkor legyen \(R := 0\).

(3.) A hatványsor abszolút konvergens \(\forall x \in \R\) esetén. Ekkor legyen \(R := + \infin\).

94. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1)\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=0} x^n\right) \; = \; (-1, 1)\)

95. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1]\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=1} \dfrac{(-1)^n}{n} x^n\right) \; = \; (−1, 1]\)

96. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1)\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=1} \dfrac{1}{n} x^n\right) \; = \; [−1, 1)\)

97. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1]\) intervallum

\(H \left(\sum \limits_{n=1} \dfrac{1}{n^2} x^n\right) \; = \; [−1, 1]\)

98. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az \(a = 2\) pontban konvergens

\(\sum n^n (x - 2)^n\)

99. Definiálja az \(\exp\) függvényt

\(\exp(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \; \dfrac{x^n}{n!} \; = \; 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots \quad (x \in \R)\)

100. Definiálja a \(\sin\) függvényt

\(\sin(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \; (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \; = \; x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \dots \quad (x \in \R)\)

101. Definiálja a \(\cos\) függvényt

\(\cos(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \; (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} \; = \; 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots \quad (x \in \R)\)

102. Mit jelent az, hogy \(a \in \overline{\R}\) torlódási pontja a \(H \subset \R\) halmaznak?

\(a \in \R\) az \(A \subset \R\) halmaz torlódási pontja, ha az \(a\) minden környezetében az \(A\) halmaznak végtelen sok pontja van:

\(\forall \; \varepsilon > 0\) esetén \(K_{\varepsilon}(a) \cap A\).

Az \(A\) halmaz torlódási pontjainak halmazát \(A'\)-vel jelöljük, és az \(A\) derivált halmazának nevezzük.

103. Mit jelent az, hogy \(a \in H\) izolált pontja a \(H \subset \R\) halmaznak?

\(\exist \; \varepsilon > 0\): \((K_{\varepsilon}(a) \; \setminus \; \{a\}) \cap A \; = \; \empty\)

104. Hogyan értelmezi egy \(f \in \R \to \R\) függvénynek egy \(a \in D'_f\) helyen vett határértékét?

Azt mondjuk, hogy az \(\; f \in \R \to \R \;\) függvénynek az \(\; a \in D'_f \;\) pontban van határértéke, ha

\(\exists \; A \in \overline{\R}\), \(\; \forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exist \delta > 0 \;\), \(\forall x \in \left(K_{\delta}(a) \; \setminus \; \{a\}\right) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A)\).

Ekkor \(A\)-t a függvény \(a\)-beli határértékének nevezzük.

Jelei:

• \(\lim \limits_{x \to a} \; f(x) = A\)
• \(\lim \limits_{a} \; f = A\)
• \(f(x) \to A\), ha \(\; x \to a\)

105. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját

• \(a \in \R\)
• \(A \in \R\)

\(\forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta\):

\(|f(x) - A| < \varepsilon\)

106. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját

• \(a \in \R\)
• \(A = +\infin\)

\(\forall P > 0\)-hoz \(\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta\):

\(f(x) > P\)

107. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját

• \(a \in \R\)
• \(A = -\infin\)

\(\forall P < 0\)-hoz \(\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta\):

\(f(x) < P\)

108. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját

• \(a = +\infin\)
• \(A \in \R\)

\(\forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0\):

\(|f(x) - A| < \varepsilon\)

109. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját

• \(a = -\infin\)
• \(A \in \R\)

\(\forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exists x_0 < 0, \; \forall x \in D_f, \; x < x_0\):

\(|f(x) - A| < \varepsilon\)

110. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját

• \(a = +\infin\)
• \(A = +\infin\)

\(\forall P > 0\)-hoz \(\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0\):

\(f(x) > P\)

111. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját

• \(a = +\infin\)
• \(A = -\infin\)

\(\forall P < 0\)-hoz \(\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0\):

\(f(x) < P\)

112. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját

• \(a = -\infin\)
• \(A = -\infin\)

\(\forall P < 0\)-hoz \(\; \exists x_0 < 0, \; \forall x \in D_f, \; x < x_0\):

\(f(x) < P\)

113. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet

Legyen \(f \in \R \to \R\), \(\; a \in D'_f \;\) és \(\; A \in \overline{\R} \;\). Ekkor

\(\lim \limits_{a} \; f = A \; \iff \; \forall (x_n): \N \to D_f \; \setminus \; \{a\},\)

\(\lim \limits_{n \to +\infin} x_n = a \;\) esetén \(\; \lim \limits_{n \to +\infin} f(x_n) = A\)

114. Hogyan szól a függvények szorzatának a határértékére vonatkozó tétel?

Legyen \(\; f \in \R \to \R, \;\; g \in \R \to \R\).

Ha \(a \in (D_f \; \cap \; D_g)' \;\) és

• \(\exist \lim\limits_{a} f = A \in \overline{\R}\)
• \(\exist \lim\limits_{a} g = B \in \overline{\R}\),

akkor

\(\exist \lim\limits_{a} (f \cdot g)\) és \(\lim\limits_{a} (f \cdot g) = A \cdot B\)

feltéve, hogy a jobb oldali művelet értelmezve van.

115. Hogyan szól a függvények hányadosának a határértékére vonatkozó tétel?

Legyen \(\; f \in \R \to \R, \;\; g \in \R \to \R\).

Ha \(a \in (D_f \; \cap \; \{x \in D_g: g(x) \neq 0\})' \;\) és

• \(\exist \lim\limits_{a} f = A \in \overline{\R}\)
• \(\exist \lim\limits_{a} g = B \in \overline{\R}\),

akkor

\(\exist \lim\limits_{a} \dfrac{f}{g}\) és \(\lim\limits_{a} \dfrac{f}{g} = \dfrac{A}{B}\)

feltéve, hogy a jobb oldali művelet értelmezve van.

116. Definiálja függvény jobb oldali határértékét

Legyen \(f \in \R \to \R\). Tegyük fel, hogy \(a \in (D_f)'_+\). Tekintsük a \(J_a = D_f \cap (a, +\infin)\) halmazt, és az \(f\) függvénynek az erre való f_{J_a} leszűkítését.

Ha az \(f_{J_a}\) függvénynek létezik az a pontban határértéke, akkor azt az \(f\) függvény a pontbeli jobb oldali határértékének nevezzük.

Jelölés: \(\lim\limits_{a+0} f \; := \; \lim\limits_{a} f_{J_a}\)

117. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékéről?

TFH. \(\sum\alpha(x-a)^n\) hatványsor \(R\) konvergenciasugara pozitív. összegfüggvénye:

Ekkor \(\forall b\in K_R(a)\) pontban létezik a \(\underset{x\rightarrow b}{\lim}\,f(x)\) határérték, és

118. Mit tud mondani monoton növekvő függvények határértékéről?

Legyen \((\alpha,\beta)\subset\R\) tetszőleges nyílt intervallum.

Az adott monoton \(f\) függvénynek \(\forall\alpha\in(\alpha,\beta)\) pontban létezik jobb és baloldali határértéke, amik végesek, és:

119. Deniálja egy \(f \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) függvény pontbeli folytonosságát

Az \(f\in\R\rightarrow\R\) függvény folytonos az \(a\in\mathcal{D}_f\) pontban, ha:

Jelölés: \(f\in C\{a\}\)

120. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között?

121. Írja le a folytonosságra vonatkozó átviteli elvet

TFH. \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(a\in\mathcal{D}_f\).Ekkor:

122. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról?

Minden hatványsor összegfüggvénye folytonos a hatványsor teljes konvergenciahalmazán.

123. Milyen tételt ismer a folytonos függvények előjeltartásáról?

TFH. az \(f\in\R\rightarrow\R\) függvény folytonos az \(a\in\mathcal{D}_f\) pontban és \(f(a)>0\). Ekkor:

\(f(a)\) előjelét egy alkalmas \(K(a)\) környezetben felvett függvényértékek is öröklik.

124. Mondja ki az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételt?

\(f,g\in\R\rightarrow\R,\;g\in C\{a\}\,:\;f\in C\{g(a)\}\,:\;f\circ g \in C\{a\}\)

Az összetett függvény "örökli" a belső- és a külső függvény folytonosságát

125. Definiálja a megszüntethető szakadási hely fogalmát

Az \(a\in\mathcal{D}_f\) pont az \(f\) függvény megszüntethető szakadási helye, ha:

126. Definiálja az elsőfajú szakadási hely fogalmát

Az \(a\in\mathcal{D}_f\) pont az \(f\) függvény ugrási helye (elsőfajú szakadása), ha:

127. Mit tud mondani korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről?

Ha \(f\in C[a,b]\), akkor \(f\) korlátos az \([a,b]\) intervallumon.

128. Hogyan szól a Weierstrass-tétel?

Egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek mindig van abszolút maximum- és abszolút minimumhelye, azaz:

129. Mit mond ki a Bolzano-tétel?

Ha egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény az intervallum két végpontjában különböző előjelű értékeket vesz fel, akkor a függvénynek van zérushelye, azaz:

130. Mit jelent az, hogy egy függvény Darboux-tulajdonságú?

Legyen \(I\subset\R\) tetszőleges intervallum.

Az \(f\,:\;I\rightarrow\R\) ha minden \(a,b\in I,\;a<b,\;f(a)\ne f(b)\) esetén az összes \(f(a)\) és \(f(b)\) közötti értéket felvesz \((a,b)\)-ben, akkor Darboux-tulajdonságú.

131. Hogy szól az inverz függvény folytonosságára vonatkozó tétel?

Minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos és invertálható függvény esetében az invert függvény folytonos.

132. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konvex egy \(I\) intervallumon?

Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(I\subset\mathcal{D}_f\) egy intervallum. Akkor konvex, ha \(\forall a,b\in I,\;a<b\) esetén igaz, hogy:

\(f\in\R\rightarrow\R\) függvény akkor és csak akkor konvex, ha az \(I\subset\R\) intervallumon \(\forall a,b\in I,\;a<b\) és \(\forall\lambda\in(0,1)\) esetén

133. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konkáv egy I intervallumon?

Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(I\subset\mathcal{D}_f\) egy intervallum. Akkor konkáv, ha \(\forall a,b\in I,\;a<b\) esetén igaz, hogy:

\(f\in\R\rightarrow\R\) függvény akkor és csak akkor konkáv, ha az \(I\subset\R\) intervallumon \(\forall a,b\in I,\;a<b\) és \(\forall\lambda\in(0,1)\) esetén

134. Mondjon példát olyan konvex függvényre, amely nem szigorúan konvex

konstansfüggvény

identitásfüggvény

135. Értelmezze az \(ln\) függvényt

Természetes, vagy \(e\) alapú logaritmusfüggvény

136. Mi a definíciója az \(a^x\;(a, x \in \mathbb{R}, a > 0)\) hatványnak?

137. Értelmezze az \(\log_a\) függvényt

138. Mi a deníciója az \(x^\alpha\;(x > 0, \alpha \in \mathbb{R})\) hatványfüggvénynek?