Kihagyás

1. ZH tételek

(23/24. 1. félév)

1. Szuprémum elv

SUP - Tétel

Ha \(A \subset \mathbb{R}\) halmaz nem üres és felülről korlátos, akkor kell hogy létezzen egy legkisebb felső korlát (azaz szuprémum).

Jele: \(\sup A = \xi\)

SUP - Bizonyítás

Ha \(B\) a felső korlátok halmaza, akkor a teljességi axióma miatt az \(A\) és \(B\) halmaz között kell hogy legyen legalább egy elem ( \(\xi\) [xí] ) ami nagyobb vagy egyenlő mint az összes \(A\)-beli elem, és kisebb vagy egyenlő mint az összes \(B\)-beli elem.

\[ \forall a \in A \; és \; \forall b \in B: \; a \leq \xi \leq b \]

Az elsőből következIK, hogy \(\xi\) felsőkorlát, a másodikból pedig, hogy \(\xi\) a legkisebb lehetséges felső korlát, tehát \(\xi\) a szuprémum. (Ami lehetne része A-nak (akkor maximum) de nem szükséges.)

2. Arkhimédeszi tulajdonság

AT - Tétel

Minden \(a \, ,b\) valós számhoz, ahol \(a > 0\), létezik olyan \(n\) természetes szám, hogy \(a \cdot n > b\). (Ha \(a\)-t \(n\)-szer összeadom, akkor a \(b\)-nél nagyobb lesz.)

\[ \forall a > 0 \quad és \quad \forall b \in \R \quad esetén \quad \: \exists n \in \N: \quad b < n \cdot a \]

AT - Bizonyítás

Indirekt módon bizonyítjuk.

Tagadjuk az eredeti állítást, tehát azt mondjuk, hogy mégis van egy olyan \(b\) ami nagyobb vagy egyenlő mint \(n \cdot a\):

\[ \exists a > 0 \quad \exists b \in \R \quad \forall n \in \N: \quad b \geq n \cdot a \]

Csinálunk egy \(H\) halmazt, ami tartalmazza az összes \(n \cdot a\) számot (\(H := \{n \cdot a \; | \; n \in \N\}\)). Ha a tagadásunk igaz lenne, ennek a halmaznak felülről korlátosnak kellene lennie (létezik olyan \(b\), hogy az a \(H\) halmaz minden eleménél nagyobb).

Ha \(b\) egy tetszőleges felsőkorlát, akkor ő lehet \(b=sup \, H\). Ez azt jelenti, hogy ő a legkisebb felső korlát, tehát ha egy tetszőleges \(\varepsilon > 0\) számot kivonunk belőle, az már nem felső korlát, azaz van nála nagyobb \(H\)-beli elem, amely legyen \(n_0 \cdot a\):

\[ \exists n_0 \in \N: \quad n_0 \cdot a \; > \; b-\varepsilon \]

\(\varepsilon\)-nak válasszuk ki \(a\)-t (hiszen tetszőleges).

$$\begin{alignat*}{3} \exists n_0 \in \N: \quad & n_0 \cdot a && > b-a \

& n_0 \cdot a+a && > b \

& a \cdot (n_0+1) && > b \ \end{alignat*}$$

Ez azt jelenti, hogy mégis létezik olyan \(H\)-beli elem (\(a \cdot (n_0+1)\)) ami nagyobb \(b\)-nél (a feltételezett szuprémumnál). Ebből következik, hogy \(b\) nem lehet szuprémum, tehát \(H\) nem lehet felülről korlátos.

Ezzel megcáfoltuk a fordított feltevésünket.

3. Cantor - tulajdonság

CAN - Tétel

"egymásba skatulyázott intervallumoknak van közös pontja" ~ Wikipedia

Fontos, hogy az intervallumok végtelenek (valós értelmezésben)...

Ha kiveszel egy szeletet egy tortából \([0..360]\), a szelet a része a tortának \([10..90]\), right? Szóval minél tovább szeleteljük azt a szerencsétlen szeletet \([15..80],[20..70]\), az még mindig közös metszete lesz az összes szülővel (jelenleg \([20..70]\), de ez mehet tovább rekurzívan)...

CAN - Bizonyítás

A skatulyázott intervallumokat írjuk fel kezdő- és végértékükkel: \([a_n..b_n]\), tehát az \(a_n\) sorozat a kezdőpontokat, a \(b_n\) sorozat a végpontokat tartalmazza. Az \(a_n\) sorozat szigorúan monoton növekvő, a \(b_n\) szigorú monoton csökkenő (mert ugye szűkülnek az intervallumok 4head)

Észrevesszük, hogy minden \(n\)-re és minden \(m\)-re \(a_n < b_m\), hiszen

  • ha \(n < m\), akkor \(a_n \leq a_m\) (szig.mon.növ miatt) és \(a_m \leq b_m\), tehát \(a_n \leq b_m\)
  • ha \(m \leq n\), akkor \(a_n \leq b_n\) és \(b_n \leq b_m\) (szig. min. csök. miatt), tehát \(a_n \leq b_m\)

Mindkét esetben az utolsó lépésnél a tranzitivitást használtuk fel.

\[ \forall n, m \in \N: a_n \leq b_m \]

Tehát az összes kezdőérték kisebb (vagy egyenlő), mint az összes végérték.

Használjuk a teljességi axiómát, mi szerint:

\[ \forall n, m \in \N \, \exists \xi: a_n \leq \xi \leq b_m \]

Ha \(n = m\), akkor \(a_n \leq \xi \leq b_n\), tehát \(\xi \in [a_n..b_n]\), tehát létezik olyan szám, ami eleme az intervallumnak, tehát az intervallum nem lehet üreshalmaz.

4. Határérték egyértelműsége

HAT - Tétel

Ha az \(\; (a_n): \N \to \R \;\) sorozat konvergens, akkor egyértelműen van határértéke. \(\quad \exists ! \; \lim(a_n)\in \R\)

Ha létezik határérték, akkor az egyértelműen áll elő (csak egy van duh).

HAT - Bizonyítás

Indirekt módon feltesszük, hogy \((a_n)\) sorozatra \(A_1\) és \(A_2\) esetén is teljesül a konvergencia, azaz, hogy a határérték nem egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan \(A_1\) és \(A_2\), hogy \(A_1 \neq A_2\), és \(A_1\) és \(A_2\) is határértéke a sorozatnak.

Ekvivalens átalakítással

\[ |A_1 - A_2| = |A_1 - a_n+a_n - A_2| = |(A_1 - a_n)+(a_n - A_2)| \]

Háromszög egyenlőtlenség visszaemlékezés

\(|a + b| \leq |a| + |b|\)

ahol \(a = A_1 - a_n \;\) és \(\; b = a_n - A_2\)

Tehát

\(|A_1 - A_2| = |(A_1 - a_n)+(a_n - A_2)| \quad \leq \quad |A_1 - a_n | + | a_n - A_2| = |A_1 - a_n | + | A_2 - a_n |\)

Legyen

\[ \varepsilon := \frac{|A_1 - A_2|}{2} \]

Ekkor, a konvergencia definciója szerint pedig: \(| A_1 - a_n | < \varepsilon \;\) (\(n > n_1\) esetén) és \(| A_2 - a_n | < \varepsilon \;\) (\(n > n_2\) esetén)

Ebből következik, hogy

\(|A_1 - A_2| \leq |A_1 - a_n | + | A_2 - a_n | < \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon\) (\(n > n_0=\max\{n_1, n_2\}\) esetén)

Ekkor: \(\; |A_1-A_2| < 2 \varepsilon \; = \; 2 \cdot \frac{|A_1 - A_2|}{2} \; = \; |A_1 - A_2|\)

Ami elég sus, hogy:

\(|A_1 - A_2| < |A_1 - A_2|\)

Lényegében felírtuk definíció szerint \(A_1\) és \(A_2\) határértéket, amiből kiderül az, hogy csak akkor lehetnek határértékek, ha meg is egyeznek.

5. Sorozat konvergenciája és korlátosságának kapcsolata

SORK - Tétel

Ha az \(a_n\) sorozat konvergál valahova (\(A\)), akkor biztosan korlátos.

SORK - Bizonyítás

Konvergencia definíciója szerint:

\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0 \in \N , \quad \forall n > n_0: \quad |a_n-A| < \varepsilon \]

Mivel ez bármilyen pozitív \(\varepsilon\)-ra igaz, ezért választhatunk neki tetszőleges értéket. Legyen \(\varepsilon := 1\)

\[ \exists n_0 \in \N , \quad \forall n > n_0: \quad |a_n-A| < 1 \]

A korlátosság definíciója: \(\; \exists K >0 \quad \forall n \in \N: \quad |a_n| \leq K\)

Osszuk fel két részre:

  • Ha \(n > n_0\), akkor \(|a_n| = |a_n-A+A| = |(a_n-A)+A| \overbrace{\leq}^{\mathclap{\text{Háromszög-egyenlőtlenség}}} \underbrace{|a_n-A|}_{<1}+|A| < 1+|A|\)
    • Mivel \(|a_n| < 1+|A|\), ezért \(a_n\) korlátos
  • Ha \(n \leq n_0\), akkor véges-sok számú \(n\) létezik, tehát: \(|a_n| \leq max\{|a_1|, |a_2|, |a_3|, \dots, |a_{n_0}|\}\). Ebből következően korlátos.

A két rész maximuma megadja az \(a_n\) sorozat korlátját: \(max\{|a_1|, |a_2|, |a_3|, \dots, |a_{n_0}|, 1+|A|\}\)

Mivel létezik korlát, ezért a sorozat korlátos.

6. Monoton részsorozat létezése

MON - Tétel

Minden \(a = (a_n)\) valós sorozatnak létezIK monoton részsorozata. Azaz létezik olyan \(v = (v_n)\) indexsorozat, amellyel \(a \circ v\) monoton (növekedő vagy csökkenő).

Összefoglalva:

Minden sorozatra készíthetsz egy olyan szűrőt (indexsorozatot), ami monotonná teszi a sorozatot.

Indexsorozat: \(\N \to \N\) szigorú monoton növekvő függvény

Tehát \(v :=\) indexsorozat

Akkor \(a \circ v\) monoton lesz

MON - Bizonyítás

Csúcselem: olyan eleme egy sorozatnak, ami nagyobb-egyenlő, mint az összes őt követő elem. Tehát minden utána jövő elem kisebb-egyenlő, big brain.

Jele: \(a_{n_0}\)

Két eset lehet

  • Végtelen csúcselem van
    • Ilyenkor ha a csúcselemeket indexeled, az jó, hiszen a soron következő csúcselemeknek kissebbnek kell lenni, mint az előző
      • \(\exists v_0 \in \N\), hogy \(a_{v_0}\) csúcselem, azaz \(\forall n > v_1: a_n \leq a_{v_1}\)
      • Szintén \(\exists \N \ni v_1 > v_0: a_{v_1}\) csúcselem, azaz \(\forall n > v_1: a_n \leq a_{v_1}\) Mivel \(a_{v_1}\) kisebb, mint \(a_{v_0}\) (hiszen \(a_{v_0}\) csúcselem) ezért \(a_n \leq a_{v_1} \leq a_{v_0}\)
      • Ugyan ezt a logikát követve, az összes csúcspontra fel tudjuk írni, hogy a soron következő csúcspont kisebb-egyenlő, mint az előző, tehát: \(a_{v_0} \geq a_{v_1} \geq a_{v_2} \geq \dots\)
    • Monoton csökkenni fog
  • Véges sok csúcselem van
    • Mindenképpen lesz egy utolsó csúcselem (\(a_v\)). Ha ez az elem után lenne csúcselem, azt a következő módon írnánk fel: \(\exists q > v: \forall n > q: a_n \leq a_q\). Mivel tudjuk, hogy ez nem igaz, tagadhajtuk: \(\forall q > v: \exists n > q: a_n > a_q\). Tehát minden \(a_v\) utáni elemre létezik egy utána lévő, nála kisebb elem.
    • Monoton nőni fog

7. Közrefogási elv

RENDŐR - Tétel

Ha két sorozat határértéke megegyezik, akkor a közéjük "zárt" sorozat is ugyanoda tart.

Adott egy \(N\) szám, ami után minden \(n\)-re \(a_n \leq b_n \leq c_n\) és \(\lim(a_n)=\lim(c_n)\), akkor \(\lim(a_n)=\lim(b_n)=\lim(c_n)\)

RENDŐR - Bizonyítás

Három eset lehetséges:

RENDŐR - Első lehetőség

\(A \in \R\), tehát \(a_n\) és \(c_n\) konvergens, tehát nem tart egyik se a végtelenbe.

\(a_n\) és \(c_n\) határértéke ugyan az: \(A\)

Vegyünk egy tetszőleges \(\varepsilon > 0\) számot.

Konvergencia definíciója szerint:

\[ \exists n_1 \in \N: \forall n > n_1: A-\varepsilon < a_n < A+\varepsilon \]
\[ \exists n_2 \in \N: \forall n > n_2: A-\varepsilon < c_n < A+\varepsilon \]

Legyen \(n_0 := \max\{n_1, n_2, N\}\)

Ebben az esetben:

\[ \forall n > n_0: A-\varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < A+\varepsilon \]

Tehát \(A-\varepsilon < b_n < A+\varepsilon \Rightarrow -\varepsilon < b_n-A < \varepsilon \Rightarrow |b_n-A| < \varepsilon \quad (n > n_0)\)

Ebből következik, hogy \((b_n)\) sorozat konvergens, és határértéke \(\lim b_n = A\)

RENDŐR - Második lehetőség

\(\lim a_n = +\infin\)

Vegyünk egy \(P>0\) tetszőleges számot. Mivel \(\lim a_n = +\infin\)

Ekkor \(\exists n_1 \in \N \, \forall n > n_1: a_n > P\)

Legyen \(n_0 = \max\{n_1, N\}\)

Ekkor \(P < a_n \leq b_n\), tehát \(P < b_n\), tehát \(b_n\) határértéke \(+\infin\)

RENDŐR - Harmadik lehetőség

\(\lim c_n = -\infin\)

Vegyünk egy \(P<0\) tetszőleges számot. Mivel \(\lim c_n = -\infin\)

Ekkor \(\exists n_1 \in \N \, \forall n > n_1: c_n < P\)

Legyen \(n_0 = \max\{n_1, N\}\)

Ekkor \(b_n \leq c_n < P\), tehát \(b_n < P\), tehát \(b_n\) határértéke \(-\infin\)

8. A határérték és a rendezés kapcsolata

RENDEZ - Tétel

Létezik egy olyan küszöbindex, ami után a két sorozat elemei úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a sorozat határértékei.

  1. \(A < B \Rarr \exists N \in \N \, \forall n > N: a_n < b_n\)
  2. \(\exists N \in \N \, \forall n > N: a_n \leq b_n \Rarr A \leq B\)

RENDEZ - Bizonyítás (\(A < B \Rightarrow\))

"környezet": lényegében egy \(p\) középponttű kör, és a bele eső elemek: \(K_t(p)=(p-t,p+t) \iff\) p középponttól maximum t távolságra álló elemek. \(|p-t| < K \iff p \in K_t(p)\)

"Diszjunkt környezet": Olyan környezetek, amiknek nincsen közös pontja egymással

Nincs metszetük \(\forall A,B\,\in \overline{\R}, \, A\ne B:\exist r_1,r_2>0 : K_{r_1} (A) \cap K_{r_2}(B)\ne \emptyset\)

Ahol \(A\), és \(B\) a két Környezet középpontja

\(K_1\) legyen egy \(A\) középpontú környezet, \(K_2\) pedig egy \(B\) középpontú környezet, úgy, hogy a két környezet diszjunkt.

VILÁGOS, hogy ha \(A < B\), akkor a két diszjunkt környezet minden elemére igaz, hogy \(\forall x \in K_1, \forall y \in K_2:\, x < y\), tehát, bármilyen \(K_1\)-beli elem kisebb, mint bármelyik \(K_2\)-beli elem.

A feltevés miatt tudjuk, hogy \(\lim(a_n) = A\) és \(\lim(b_n) = B\), a két definíció egybe:

\[ \exists n_1 \in \N, \forall n > n_1:a_n \in K_1 \]
\[ \exists n_2 \in \N, \forall n > n_2:b_n \in K_2 \]

Legyen \(N := \max \{n_1,n_2\}\), így kimondhatjuk az \(N\) utáni indexekre (\(\forall n>N\)):

\[ a_n\in K_1\quad\text{és}\quad b_n\in K_2\qquad\Longrightarrow\qquad a_n<b_n \]

Lényegébe kivesszük azt a legkisebb indexet, amikortól mind az \(a_i\) és \(b_i\) elem a megfelelő környezetben lesz, onnnatól meg tudjuk, hogy minden elem relációban áll.

RENDEZ - Bizonyítás (\(\Rightarrow A \leq B\))

Feltételezzük fordítva (\(A > B\)).

Az első állítás (\(B < A \Rarr \exists N \in \N \, \forall n > N: b_n < a_n\)) miatt pedig már tudjuk, hogy a megfelelő index létezik, amitől kezdve \(b_n < a_n\), tehát ellentmondásba futunk.

9. NULLA - Műveletek nullasorozatokkal

NULLA - Tétel

Legyen \((a_n)\) és \((b_n)\) nullasorozatok (\(\lim(a_n) = 0, \lim(b_n) = 0\))

  1. \(a_n+b_n\) is nullasorozat
  2. ha \(c_n\) korlátos sorozat, akkor \((c_n \cdot a_n)\) nullasorozat
  3. \((a_n \cdot b_n)\) nullasorozat

NULLA - Bizonyítás

NULLA - Nullasorozatok összeadása

Minden \(\varepsilon > 0\) esetén

\[ \exists n_1 \in \N \, \forall n > n_1: |a_n| < \frac{\varepsilon}2 \]
\[ \exists n_2 \in \N \, \forall n > n_1: |b_n| < \frac{\varepsilon}2 \]

Legyen \(n_0 = \max\{n_1, n_2\}\), akkor \(\forall n > n_0\) indexre

\[ |a_n+b_n| \underbrace{\leq}_{\mathclap{\text{háromszög-egyenlőtlenség}}} |a_n|+|b_n| < \frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon \]

Tehát

\[ |a_n+b_n| < \varepsilon \]

Tehát \(a_n+b_n\) nullasorozat

NULLA - Korlátos sorozat szorzás nullasorozattal

\[ \exists K > 0 \, \forall n \in \N: |c_n| < K \]

Mivel \((a_n)\) nullasorozat, ezért

\[ \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0 \in \N \, \forall n > n_0: |a_n|<\frac{\varepsilon}{K} \]

tehát minden \(n > n_0\) esetén

\[ |a_n \cdot c_n| = |a_n|\cdot|c_n| < K \cdot \frac{\varepsilon}{K} = \varepsilon \Rightarrow |a_n \cdot c_n| < \varepsilon \]

Tehát \(a_n \cdot c_n\) nullasorozat.

NULLA - Nullasorozatok szorzása

Mivel \(b_n\) konvergens, ezért korlátos is, tehát felhasználható a 2. összefüggés.

10. Konvergens sorozatok szorzata

KONVMŰVSZOR - Tétel

Legyen \(a_n\) és \(b_n\) konvergens sorozatok, hogy \(a_n\) határértéke \(A\) és \(b_n\) határértéke \(B\).

Ekkor, \((a_n \cdot b_n)\) konvergens, és \(\lim(a_n \cdot b_n)=A \cdot B\)

KONVMŰVSZOR - Bizonyítás

Hasonlóan, be kell mutatni, hogy \(a_nb_n-AB\) nullasorozat.

\[ a_nb_n-AB=a_nb_n-Ab_n+Ab_n-AB\underbrace{=}_{\mathclap{\text{kiemelés}}}b_n(a_n-A)+A(b_n-B) \]

Mivel \(a_n-A\) és \(b_n-B\) nullasorozatok, és \(b_n\) és \(A\) korlátosak, ezért:

\[ \underbrace{\underbrace{\underbrace{b_n}*{{korlátos}}\underbrace{(a_n-A)}*{{\text{0-sorozat}}}}*{{0-sorozat}}+\underbrace{\underbrace{A}*{korlátos}\underbrace{(b_n-B)}*{{\text{0-sorozat}}}}*{{0-sorozat}}}_{0-sorozat} \]

Tehát \(b_n(a_n-A)+A(b_n-B)\) nullasorozat, tehát \((a_nb_n-AB)\) nullasorozat, tehát \(a_nb_n\) konvergál \(AB\)-hez

11. Konvergens sorozatok hányadosa

KONVMŰVOSZT - Tétel

Legyen \(a_n\) és \(b_n\) konvergens sorozatok, hogy \(a_n\) határértéke \(A\) és \(b_n\) határértéke \(B\).

Ekkor, ha \(\forall n \in \N: b_n \neq 0\) és \(\lim(b_n) \neq 0\), akkor \((\frac{a_n}{b_n})\) konvergens és \(\lim(\frac{a_n}{b_n}) = \frac{A}{B}\)

KONVMŰVOSZT - Bizonyítás

KONVMŰVOSZT - Osztás segédtétel - Reciprok

Ha \(\forall n \in \N: b_n \neq 0\), \(\exists \lim(b)=B \neq 0\) esetén:

\[ \frac{1}{b_n} \text{ sorozat korlátos} \]

Mivel \(b_n\) konvergens, ezért

\[ \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0 \in \N \, \forall n > n_0:|b_n-B| < \varepsilon \]

Legyen \(\varepsilon := \frac{|B|}{2}\). Ekkor

\[ |b_n-B| < \frac{|B|}{2} \quad (\forall n > n_0) \]

Így, ha \(n > n_0\), akkor

\((*)\)

\(|B|=|B-b_n+b_n| \leq |B-b_n|+|b_n|\)

\(|B| \leq |B-b_n|+|b_n|\)

\(|B|-|B-b_n| \leq |b_n|\)

\(|B|-|b_n-B| \leq |b_n|\)

\(|b_n| \overbrace{\geq}^{(*)} |B| - |b_n-B| \overbrace{>}^{\mathclap{\text{konvergencia definíciója}}} |B| - \frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}\), tehát \(|b_n| > \frac{|B|}{2}\)

Tehát \(\left|\frac{1}{b_n}\right| < \frac{2}{|B|}\), ha \(n > n_0\)

\(n_0\) alatt végesszámú elem van, tehát \(\frac{1}{b_n}\) korlátja \(\max\{\frac{1}{\left|b_0\right|},\frac{1}{\left|b_1\right|},\frac{1}{\left|b_2\right|},\dots,\frac{1}{\left|b_{n_0}\right|},\frac{2}{|B|}\}\).

Így beláttuk, hogy \(\frac{1}{b_n}\) korlátos.

KONVMŰVOSZT - Osztás - Reciprok konvergenciája

Lássuk be, hogy \(\frac{1}{b_n}\) konvergens, és \(\frac{1}{B}\)-hez konvergál. Ez akkor igaz, ha \((\frac{1}{b_n}-\frac{1}{B})\) nullasorozat.

\[ \frac{1}{b_n}-\frac{1}{B}=\frac{B-b_n}{b_n \cdot B}=\underbrace{\underbrace{(B-b_n)}*{0-sorozat}\cdot\underbrace{\frac{1}{b_n \cdot B}}*{korlátos}}_{0-sorozat} \]

Mivel \((\frac{1}{b_n}-\frac{1}{B})\) nullasorozat, ezért a \(\frac{1}{b_n}\) sorozat \(\frac{1}{B}\)-hez konvergál.

KONVMŰVOSZT - Osztás - Összesítve

\[ \frac{a_n}{b_n}=a_n\cdot\frac{1}{b_n} \]

Mivel tudjuk, hogy \(a_n\) és \(\frac{1}{b_n}\) is konvergens, ezért szorzatuk határértéke, a határértékük szorzata, tehát \(A\cdot\frac1{B}=\frac{A}{B}\)

12. Monoton növekedő sorozatok hatérértéke

(TODO)

13. Euler szám értelmezése

Azaz \(a_n := \big(1 + \frac{1}{n}\big)^n\) sorozat konvergenciája

Az \(a_n := \big(1 + \frac{1}{n}\big)^n \quad \quad (n \in \mathbb{N}^+)\quad\) sorozat

  • szigorú monoton növekedő és
  • felülről korlátos

tehát konvergens.

Határértéke az \(e\) szám.

\[ e := \lim_{n \; \to \; +\infty} \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \]

EULER - Bizonyítás

Felhasznált ötlet: számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

Igazolandó:

  • monotonitás
  • korlátosság

EULER - Monotonitás

Monotonitás: \(a_n < a_{n+1}\)

Vegyük a következő sorozatot: \(1, \; 1+\frac{1}{n}, \; \dots, \; 1+\frac{1}{n}\)

Felírjuk a sorozat \((n + 1)\) db tagjára a közepek közti egyenlőtlenséget.

Számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség: \(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n} \leq \frac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\)

Ezek nem mind egyenlők, ezért az egyenlőség nem megengedett.

\[ \sqrt[n+1]{1 \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n} \; < \; \frac{1 + n \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)}{n + 1} \]

Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyszerűsítése:

\[ \frac{1 + n \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)}{n + 1} = \frac{1 + n + 1}{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n + 1} \]

Az egyenlőtlenség most:

\[ \sqrt[n+1]{\bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n} \; < \; 1 + \frac{1}{n + 1} \]
\[ \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \; < \; \bigg(1 + \frac{1}{n + 1}\bigg)^{n + 1} \quad \quad (n \in \mathbb{N}^+) \]
\[ a_n = \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \; < \; \bigg(1 + \frac{1}{n + 1}\bigg)^{n + 1} = a_{n+1} \]

Ezzel beláttuk, hogy a sorozat szigorú monoton növekvő.

EULER - Korlátosság

Vegyük a következő sorozatot: \(\frac{1}{2}, \; \frac{1}{2}, \; 1+\frac{1}{n}, \; \dots, \; 1+\frac{1}{n}\)

Felírjuk a sorozat \((n + 2)\) db tagjára a közepek közti egyenlőtlenséget.

Az egyenlőtlenség felírása:

\[ \sqrt[n+2]{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n} \; < \; \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + n \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)}{n + 2} \]

Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyszerűsítése:

\[ \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + n \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)}{n + 2} \; =\; \frac{1+n+1}{n+2}\; =\; \frac{n + 2}{n + 2} \; = \; 1 \]

Az egyenlőtlenség most:

\[ \sqrt[n+2]{\frac{1}{4} \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n} \; < \; 1 \]
\[ \frac{1}{4} \cdot \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \; < \; 1^{n+2} \]
\[ \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \; < \; 1^{n+2} \cdot 4 \]
\[ a_n \; = \; \bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n \; < \; 4 \quad \quad (n \in \mathbb{N}^+) \]

Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos

EULER - Összegezve

A monoton sorozat határértékére vonatkozó tételből következik, hogy a sorozat konvergens.

14. Newton-féle iterációs eljárás m-edik gyökök keresésére

(TODO)

15. Cauchy-féle konvergenciakritérium (CAUCHY)

CAUCHY - Tétel

Legyen \((a_n)\) egy valós sorozat.

Ekkor \(\quad (a_n)\) konvergens \(\quad \Longleftrightarrow \quad (a_n)\) Cauchy-sorozat.

CAUCHY - Bizonyítás (Konvergens \(\Rightarrow\) Cauchy)

Feltesszük, hogy \(\lim (a_n) = A\), akkor definíció szerint:

\[ \exists n_0 \in \N, \forall n > n_0: |a_n -A| < \frac{\varepsilon}{2} \]

Van olyan küszöbindex, ami után minden elem \(A\) középpontű \(\frac{\varepsilon}{2}\) távolságú környezetébe esik.

Azért \(\frac{\varepsilon}{2}\), hogy később összegyúrhassuk a hájomszög egyenlőtlenséggel

Ebből kiindulva \(n\) és \(m\) indexekre (\(\forall m,n > n_0\)):

\[ |a_n - a_m| = \left|\left(a_n - A\right) + \left(A - a_m\right)\right| \leq \left|a_n - A\right| + \left|a_m - A\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \]

Ami btw a Cauchy definíciója, szóval ezzel megvagyunk

CAUCHY - Bizonyítás (Cauchy \(\Rightarrow\) Konvergens)

Lépések:

  • Igazoljuk, hogy a sorozat korlátos
  • Bolzano-Weierstrass (Bolcano VejjerStrassz aka. Német jézus)-féle kiválasztásból tudjuk, hogy \(a_n\)-nek létezik konvergens részsorozata
  • Belátjuk, hogy a részsorozat ugyanoda tart, mint az eredeti

CAUCHY-1-Korlátosság

Cauchy definíció szerint:

\[ \forall m,n > n_1: |a_n - a_m| < 1 \]

Tehát bármely \(n_1\) küszöbindex után az elemek enél közelebb vannak egymáshoz

Legyen \(m = n_1 +1\), így minden \(n > n_1\) esetén

  • \(|a_n|\)-felírhatjuk \(|a_n - a_{n_1 + 1} + a_{n_1 + 1}|-ként\),
  • Háromszög egyenlőtlenség miatt: \(|a_n - a_{n_1 + 1} + a_{n_1 + 1}| \leq |a_n - a_{n_1 + 1}| + |a_{n_1 + 1}|\),

A definícióra visszaemlékezve: \(\forall m,n > n_1: |a_n - a_m| < 1\)

Tehát behelyettesítve az egész:

\[ |a_n| = |a_n - a_{n_1 + 1} + a_{n_1 + 1}| \leq |a_n - a_{n_1 + 1}| + |a_{n_1 + 1}| < 1 + |a_{n_1 + 1}| \]

Ami lényegében azt jelenti, hogy \(|a_n|\) a maximuma lesz mindezeknek (minden \(n\in\N\) számra)

\[ |a_n| \le \left\{\left|a_0\right|,\left|a_1\right|,\dots,\left|a_{n_1}\right|,1 + \left|a_{n_1 + 1}\right|\right\} \]

Ezzel beláttuk, hogy korlátos

CAUCHY-2-Német Jézus

A tétel szerint egy korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata (\(a_n\)-hez létezik \(a_{v_n}\))

CAUCHY-3-Limit Egyenlőség

Megnézzük, hogy \(\lim (a_n) = \lim (a_{v_n})\)

Fogunk egy tetszőleges \(\varepsilon > 0\)-t

\[ \exists n_2 \in\N,\, m > n_2:\, \Big|a_{v_n} - A\Big| < \frac{\varepsilon}{2} \]

Az \(a_n\) Cauchy sorozatának definíciója miatt:

\[ \exists n_3 \in\N,\,\forall n,m > n_3:\, \left|a_n - a_m\right| < \frac{\varepsilon}{2} \]

Tekintve, hogy a részsorozatunk egy indexsorozat, amik mindenképp \(\uparrow\), \(\forall n \in\N:\,v_n \geq n\) (a \(v_n\) index az \(n\) index utánra mutat minden esetben), ami trivi, úgyhogy menjünk tovább (akinek nem tetszik, teljes indukciózzon utána)

Ha kiválasztjuk:

  • \(n>\max\{n_2,n_3\}\)
  • \(m:=v_n\)

Akkor tudjuk, hogy \(v_n > \max\{n_2,n_3\}\) és \(m > \max\{n_2,n_3\}\)

\[ \left|a_n-A\right|=\left|(a_n-a_{v_n})+(a_{v_n}-A)\right|\leq \left|(a_n-a_m)\right|+\left|(a_{v_n}-A)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \]

Abből az következik, hogy \(\lim(a_n)=A\)

16. A végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritérium

(TODO)

17. Végtelen sorokra vonatkozó összehasonlítási kritériumok

(TODO)

18. Pozitív tagú sorok konvergenciája

(TODO)