Kérdések – part 1

1. Hogyan értelmezi a függvényt?

Adott \(A,B\) nemüres halmazok esetén \(\emptyset \ne f \subset A \times B\) reláció függvény, ha:

\[ \forall x \in \mathcal{D}_f\quad\text{esetén}\quad \exists! y \in \mathcal{R}_f: (x,y)\in f \]

Ahol \(y\) az \(f\) függvény \(x\) helyen felvett helyettesítési értéke \(\bigl(f(x)\text{-el jelölve} \bigr)\), vagy az \(f\) fügvény \(x\)-hez az \(f(x)\) függvényértéket rendeli.

2. Mit jelent az f ∈ A → B szimbólum?

\(\mathcal{D}_f \subset A\)

3. Mit jelent az f : A → B szimbólum?

\(\mathcal{D}_f = A\)

4. Mikor nevez egy függvényt invertálhatónak (vagy injektívnek)?

Az \(f : A \to B\) függvényt invertálható, ha a \(D_f = A\) értelmezési tartomány bármely két különböző pontjának a képe különböző, azaz

\[ \forall x,t \in \mathcal{D}_f,\qquad x \ne t\quad \Longrightarrow \quad f(x) \ne f(t) \]

\[ \lor \]

\[ \forall x,t \in \mathcal{D}_f,\qquad f(x) = f(t)\quad \Longrightarrow \quad x = t \]

\[ \lor \]

\[ \forall y \in \mathcal{R}_f\;:\;\exist!x\in\mathcal{D}_f\;:\;f(x) = y \]

5. Definiálja az inverz függvényt

Feltesszük, hogy f invertáltahó, azaz

\[ \forall y \in \mathcal{R}_f\;:\;\exist!x\in\mathcal{D}_f\;:\;f(x) = y \]

Ekkor \(f\) inverz függvénye:

\[ f^{-1} \,:\,\mathcal{R}_f \ni y \mapsto x \;|\; f(x) = y \]

6. Mit mond ki a Dedekind-axióma vagy szétválasztási axióma?

Tegyük fel, hogy az \(A, B \subset \R\) halmazokra a következők teljesülnek:

\(A \neq \empty \;\) és \(\; B \neq \empty\)
minden \(a \in A \;\) és minden \(b \in B\) elemre \(a \leq b\)

Ekkor \(\; \exist \; \xi \in \R: \; \forall a \in A \;\) és \(\; b \in B \;\) esetén \(\; a \leq \xi \leq b\)

7. Mikor mondjuk, hogy egy \(H \subset \R\) halmaz induktív? Adjon egy példát induktív halmaz-nak

A \(H \subset \R\) halmaz induktív, ha

\(0 \in H\)
\(\forall x \in H\,:\; x+1 \in H\)

8. Mondja ki a tétel formájában a teljes indukció elvét

Tegyük fel, hogy minden \(\; n \in \N \;\) számra adott egy \(\bf{A(n)}\) állítás. Tudjuk, hogy

\(A(0) \;\) igaz és
ha \(\; A(n) \;\) igaz, akkor \(\; A(n + 1) \;\) is igaz

Ekkor az \(\; A(n) \;\) állítás minden \(\; n \in \N \;\) számra igaz.

9. Mikor nevez egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmazt felülről korlátosnak?

A \(\empty \neq A \subset \R\) felülről korlátos, ha

\(\exist \; K \in \R\), hogy \(\forall x \in H\) esetén \(x \le K\).

A \(K\) szám a \(H\) halmaz felső korlátja.

10. Írja le pozitív állítás formájában azt, hogy egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmaz felülről nem korlátos?

Van egy \(\; \empty \neq A \subset \R\) halmazunk. Minden \(K \in \R\)-re létezik \(a \in A\), hogy \(a > K\).

11. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy \(\empty \neq A \subset \R\) halmaz korlátos

Az \(\empty \neq A \subset \R\) korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, azaz

\(\exists K \in \R\), hogy \(\forall \; x \in A\) esetén \(|x| \le K\).

12. Fogalmazza meg a szuprémum elvet

Legyen \(H \subset \R\) és tegyük fel, hogy

\(H \neq \empty\) és
\(H\) felülről korlátos

Ekkor \(\exists \; min\{K \in \R \; | \; K \; \text{felső korlátja} \; H\text{-nak}\}\).

(A felső korlátok között van legkisebb.)

13. Mi a szuprémum deníciója?

A felülről korlátos \(\empty \neq H \subset \R\) számhalmaz legkisebb felső korlátját \(H\) szuprémumának nevezzük.

Jele: \(sup \; H\)

14. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy \(\xi = \text{sup} \; H \in \R\)

\(\xi \; = \; sup \; H \quad \quad \Longleftrightarrow\)

\(\xi\) felső korlát, azaz \(\forall \; x \in H: x \le \xi\)
A legkisebb felső korlát, azaz \(\forall \; \varepsilon > 0\)-hoz \(\exists \; x \in H: \xi - \varepsilon < x\)

15. Mi az infimum definíciója?

A alulról korlátos \(\empty \neq H \subset \R\) számhalmaz legnagyobb alsó korlátját \(H\) infimumának nevezzük.

Jele: \(inf \; H\)

16. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy \(\xi = \text{inf} \; H \in \R\)

\(\xi \; = \; inf \; H \quad \quad \Longleftrightarrow\)

\(\xi\) alsó korlát, azaz \(\forall \; x \in H: x \ge \xi\)
A legnagyobb alsó korlát, azaz \(\forall \; \varepsilon > 0\)-hoz \(\exists \; x \in H: \xi + \varepsilon > x\)

17. Mi a kapcsolat egy halmaz maximuma és a szuprémuma között?

\(\exists \; max \; H \; \Longleftrightarrow \; sup \; H \in H\) és akkor \(sup \; H = max \; H\)

18. Mi a kapcsolat egy halmaz minimuma és az inmuma között?

\(\exists \; min \; H \; \Longleftrightarrow \; inf \; H \in H\) és akkor \(inf \; H = min \; H\)

19. Írja le az arkhimédészi tulajdonságot

\(\forall a > 0\,:\;\forall b \in \R\,:\;\exists n \in \N\,:\;b<n\cdot a\)

20. Mit állít a Cantor-tulajdonság?

THF. minden \(n\) természetes számra adott az \([a_n,b_n] \subset \R\) korlátos és zárt intervallum úgy, hogy

\([a_{n+1},b_{n+1}] \subset [a_n,b_n]\quad (n\in\N)\)

Ekkor \(\; \underset{n\in\N}{\bigcap}[a_n,b_n] \ne \emptyset\)

21. Definiálja a halmaznak függvény által létesített képét

Legyen \(f:A\rightarrow B\) egy adott függvény és \(C \subset A\). Ekkor a \(C\) halmaz \(f\) által létesített képe:

\[ f[C]:=\Big\{f(x)\,|\, x \in C\Big\} = \Big\{y \in B\,|\,\exists x \in C\,:\; y = f(x)\Big\} \subset B \]

Megállapodunk abban, hogy \(f[\emptyset] = \emptyset\).

22. Definiálja a halmaznak függvény által létesített ősképét

Legyen \(f : A \rightarrow B\) egy adott függvény és \(D \subset B\). Ekkor a \(D\) halmaz \(f\) által létesített ősképe:

\[ f^{-1}\left[D\right]:=\Big\{x \in \mathcal{D}_f\,|\;f(x)\in D\Big\}\subset A \]

Megállapodunk abban, hogy \(f^{-1}[\emptyset] = \emptyset\)

23. Mi a deníciója az összetett függvénynek?

TFH. \(\quad f : A \rightarrow B \quad\text{és}\quad g : C \rightarrow D\) olyan függvények, melyekre

\[ \big\{x\in\mathcal{D}_f\,|\;g(x)\in \mathcal{D}_f\big\} \ne \emptyset \]

Ebben az esetben \(f\) és \(g\) összetett függvénye:

\[ f\circ g\,:\;\big\{x\in\mathcal{D}_g\,|\;g(x)\in\mathcal{D}_f\big\} \rightarrow B, \qquad\Big(f\circ g\Big)(x) := f\Big(g(x)\Big) \]

24. Mi a deníciója a sorozatnak?

Az \(\; a: \N \to \R \;\) függvényt sorozatnak nevezzük. Az \(a(n) =: a_n \, (n \in \N) \;\) helyettesítési érték a sorozat \(n\)-edik tagja.

25. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat felülről korlátos?

\(\exists \; K \in \R\,:\;a_n\le K\quad(n\in\N)\)

26. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy valós sorozat felülről nem korlátos?

\(\forall \; K \in \R\,:\;a_n > K\quad(n\in\N)\)

27. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy valós számsorozat korlátos

\(\exists \; K > 0\,:\;|a_n|\le K\)

28. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton növő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat monoton növekedő, ha \(\; a_{n+1} \geq a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\nearrow\)

29. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton növő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat szigorúan monoton növekedő, ha \(\; a_{n+1} > a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\uparrow\)

30. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton csökkenő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat monoton csökkenő, ha \(\; a_{n+1} \leq a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\searrow\)

31. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton csökkenő?

Azt mondjuk, hogy az \((a_n)\) valós sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha \(\; a_{n+1} < a_n \;\) minden \(\; n \in \N \;\) esetén.

Jele: \(\downarrow\)

32. Adja meg az \(a \in \R\) középpontú \(r > 0\) sugarú környezet fogalmát

Valamilyen \(a \in \R\) és \(r > 0\) esetén a

\(K_r(a) := \{x \in \R \; | \; |x - a| < r\}\)

halmazt az \(a\) középpontú \(r\) sugarú környezetének nevezzük.

33. Adja meg a \(+ \infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének a fogalmát

Legyen \(r > 0\) valós szám. Ekkor a \(+ \infin\) elem \(r\) sugarú környezetét így értelmezzük:

\(K_r(+ \infin) := \left(\dfrac{1}{r}, \; + \infin \right)\)

34. Adja meg a \(− \infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének a fogalmát

Legyen \(r > 0\) valós szám. Ekkor a \(- \infin\) elem \(r\) sugarú környezetét így értelmezzük:

\(K_r(- \infin) := \left(- \infin, \; - \dfrac{1}{r} \right)\)

35. Mit ért azon, hogy egy számsorozat konvergens?

Azt mondjuk, hogy az \(\; a: \N \to \R \;\) sorozat konvergens, ha \(\; \exist \; A \in \R \;\) szám, amelyre

\(\; \forall \; \varepsilon > 0 \;\) számhoz \(\; \exist \; n_0 \in \N \;\), hogy \(\; \forall \; n > n_0 \;\) indexre \(\; |a_n - A| < \varepsilon \;\).

\(A\): A sorozat határértéke
\(n_0\): \(\varepsilon\)-hoz tartozó küszöbindex

36. Mit ért azon, hogy egy számsorozat divergens?

A nem konvergens sorozatokat nevezzük divergensnek.

\(\forall \; A \in \R \,:\; \exists \; \varepsilon > 0\,:\; \forall \; n_0 \in \N\,:\;\exists n > n_0\,:\;|a_n - A| \ge \varepsilon\)

37. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy számsorozat divergens

A nem konvergens sorozatokat nevezzük divergensnek.

Azt mondjuk, hogy az \(\; a: \N \to \R \;\) sorozat divergens, ha \(\; \forall \; A \in \R \;\) szám esetén

\(\; \exist \; \varepsilon > 0 \;\), hogy \(\; \forall \; n_0 \in \N \;\), indexhez \(\exist\) nála nagyobb \(\; n > n_0 \;\) index, amelyre \(\; |a_n - A| \geq \varepsilon \;\).

38. Milyen állítást ismer sorozatok esetén a konvergencia és a korlátosság kapcsolatáról?

Ha az \((a_n)\) sorozat konvergens, akkor korlátos is.

39. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak \(+ \infin\) a határértéke?

\(\forall P > 0\,:\;\exists n_0\in\N,\,\forall n > n_0\,:\;a_n>P\)

Jelölések:

\(\lim(a_n)=+\infin\)
\(\underset{n\rightarrow +\infin}{\lim} = +\infin\)
\(a_n \rightarrow + \infin,\quad\text{ha}~~n \rightarrow + \infin\)

40. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak \(− \infin\) a határértéke?

\(\forall P < 0\,:\;\exists n_0\in\N,\,\forall n > n_0\,:\;a_n < P\)

Jelölések:

\(\lim(a_n)=-\infin\)
\(\underset{n\rightarrow +\infin}{\lim} = -\infin\)
\(a_n \rightarrow - \infin,\quad\text{ha}~~n \rightarrow + \infin\)

41. Környezetekkel fogalmazza meg azt, hogy az \((a_n)\) valós számsorozatnak (tágabb értelemben) van határértéke

\(a_n\) sorozatnak akkor van határértéke, ha:

\[ \exists A \in \overline{\R},\;\forall \varepsilon>0\,:\;\exists n_0\in \N,\;\forall n>n_0\,:\;a_n\in K_\varepsilon(A) \]

42. Hogyan Definiálja egy sorozat részsorozatát?

Legyen \(a = (a_n):\N\rightarrow\R\) egy valós sorozat, és \(v=(v_n)\) egy szigorúan monoton növeketőd sorozat (indexsorozat).

Ekkor az (\(a_n\)) sorozat \(v\) indexsorozat által meghatározott részsorozata:

\[ \big(a\circ v\big)(n) = a(v_n) = a_{v_n}\quad(n\in\N) \]

\[ a\circ v = a_{v_n} \]

43. Mit tud mondani konvergens sorozatok részsorozatairól?

Egy sorozatnak akkor és csak akkor van határértéke, ha minden részsorozatának van határértéke, és mindegyike ugyanahhoz a határértékhez tart.

44. Milyen tételt tud mondani valós sorozatok és monoton sorozatok viszonyáról?

Minden \(a = (a_n)\) valós sorozatnak létezik monoton részsorozata, azaz létezik olyan \(ν = (ν_n)\) indexsorozat, amellyel \(a \circ ν\) monoton növekedő vagy monoton csökkenő.

45. Mit értettünk egy valós sorozat csúcsán?

\(a_{n_0}\) az \((a_n)\) sorozat csúcsa, ha \(\; \forall n \ge n_0\,:\; a_n \le a_{n_0}\)

46. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\), a \((b_n)\) és a \((c_n)\) sorozatokra teljesülnek a következők:

\(\exist \; N \in \N\), hogy \(\forall \; n > N\): \(\; \; (a_n) \leq (b_n) \leq (c_n)\)
Az \((a_n)\) és a \((c_n)\) sorozatnak van határértéke
\(\lim (a_n) = \lim (c_n) = \; A \in \overline{\R}\)

Ekkor a \((b_n)\) sorozatnak is van határértéke, amely \(\lim (b_n) = A\)

47. Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, ill. határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között?

Tegyük fel hogy, az \((a_n)\) és \((b_n)\) sorozatnak van határértéke.

Ekkor:

Ha \(\lim (a_n) < \lim (b_n) \; \Rightarrow \; n \in \N\) esetén \(a_n < b_n\)
Ha \(a_n \leq b_n\) m.m \(n \in \N\) indexre, akkor \(\lim (a_n) \leq \lim (b_n)\)

48. Igaz-e az, hogy ha az (\(a_n\)) és a (\(b_n\)) sorozatoknak van határértéke és \(a_n > b_n\) minden \(n\)-re, akkor \(\lim (a_n) > \lim (b_n)\)? A válaszát indokolja

Nem, a két sorozat tarthat ugyanoda, például:

\(a_n:=\dfrac{1}{n}\qquad b_n:=-\dfrac{1}{n}\)

Így

\(a_n > b_n\qquad \lim(a_n) = \lim(b_n) = 0\)

49. Mit tud mondani nullsorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy \(\lim (a_n) = 0\) és \(\lim (a_b) = 0\). (Nullsorozatok.)

Ekkor az összegük azaz \((a_n) + (b_n)\) is nullsorozat.

50. Mit tud mondani korlátos sorozat és nullsorozat szorzatáról?

Tegyük fel hogy \(\lim (a_n) = 0\).

Ha \((c_n)\) korlátos sorozat, akkor (\(c_n \cdot a_n\)) is nullasorozat.

51. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : \N \rightarrow \R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és} \quad\lim (a_n/b_n) = 7\)

\[ a_n := \dfrac{1}{n}\,;\;\;b_n:=\dfrac{1}{7n} \]

\[ \lim(a_n)=0\,;\;\lim(b_n)=0 \]

\[ \lim\Big(\dfrac{a_n}{b_n}\Big) = \lim\Bigg(\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{7n}}\Bigg) = \lim \Bigg( \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{7n}{1}\Bigg) = \lim \bigg( \dfrac{7n}{n}\bigg) = 7 \]

52. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : \N \rightarrow \R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és} \quad\lim (a_n/b_n) = +\infin\)

\[ a_n = \dfrac{1}{n}\,;\; b_n=\dfrac{1}{n^2} \]

\[ \lim(a_n)=0\,;\;\lim(b_n)=0 \]

\[ \lim\Big(\dfrac{a_n}{b_n}\Big) = \lim\Bigg(\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}\Bigg) = \lim\bigg(\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{n^2}{1}\bigg) = \lim\bigg(\dfrac{n^2}{n}\bigg) = \lim(n) = +\infin \]

53. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : \N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és a} \;\lim (a_n/b_n)\) határérték nem létezik

\[ a_n = \dfrac{1}{n}\,;\; b_n=0 \]

\[ \lim(a_n)=0\,;\;\lim(b_n)=0\,;\;\nexists\lim\Big(\dfrac{a_n}{b_n}\Big) \]

54. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok összegéről?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor \((a_n + b_n)\) is konvergens és \(\lim (a_n + b_n) = \lim(a_n) + \lim(b_n) = A + B\)

55. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor \((a_n \cdot b_n)\) is konvergens és \(\lim (a_n \cdot b_n) = \lim(a_n) \cdot \lim(b_n) = A \cdot B\)

56. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról?

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozat konvergens.

Legyen \(\lim (a_n) = A \in \reals\) és \(\lim(b_n) = B \in \reals\)

Ekkor ha \(b_n \neq 0 \; (n \in \N)\) és \(\lim(b_n) = B \neq 0\) akkor

\[ \left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)\; \text{is konvergens és} \lim \left( \dfrac{a_n}{b_n} \right) = \dfrac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)} = \dfrac{A}{B} \]

57. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről?

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

\(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
\(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor az összegük:

\(\exist \; \lim (a_n + b_n)\) és \(\lim (a_n + b_n) \; = \; \lim (a_n) + \lim (b_n) \; = \; A + B\)

Feltéve, hogy az \(A + B\) művelet értelmezve van.

58. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról?

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

\(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
\(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor a sorzatuk:

\(\exist \; \lim (a_n \cdot b_n)\) és \(\lim (a_n \cdot b_n) \; = \; \lim (a_n) \cdot \lim (b_n) \; = \; A \cdot B\)

Feltéve, hogy az \(A \cdot B\) művelet értelmezve van.

59. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról?

Tágabb értelemben vett: \(\overline{\R}\) = \(\R \; \cup \{- \infty, \; + \infty\}\)

Tegyük fel, hogy az \((a_n)\) és a \((b_n)\) sorozatoknak van határértéke, és

\(\exist \; \lim (a_n) = A \in \overline{\R}\)
\(\exist \; \lim (b_n) = B \in \overline{\R}\)

Ekkor a sorzatuk:

\(\exist \; \lim \bigg(\dfrac{a_n}{b_n}\bigg)\) és \(\quad \lim \bigg(\dfrac{a_n}{b_n}\bigg) \; = \; \dfrac{\lim a_n}{\lim b_n} \; = \; \dfrac{A}{B}\)

Feltéve, hogy az \(\dfrac{A}{B}\) művelet értelmezve van és \((b_n) \neq 0 \; (n \in \N)\).

60. Milyen tételt ismer monoton sorozatok határértékével kapcsolatban?

Ha \((a_n)\) monoton csökken, akkor

\[ \exist \lim (a_n) \; \text{és} \; \lim (a_n) = \inf \{ a_n \; | \; n \in \N \} = \inf \mathcal{R}(a_n) \]

61. Legyen \(q \in \R\). Mit tud mondani a (\(q^n\)) sorozatról határérték szempontjából?

\(\lim q^n = \begin{cases} 0, \quad ha \; -1 < q < 1 \\ 1, \quad ha \; q = 1 \\ + \infin, \quad ha \; q > 1 \\ \nexists, \text{nem létezik} \quad ha \; q \leq -1 \end{cases}\)

62. Adja meg az \(e\) számot definiáló sorozatot

\[ a_n := \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \quad \quad (n \in \N^+) \]

\(\text{konvergens, mert:} \begin{cases} \text{szigorú monoton növekedő \; és}\\ \text{felülről korlátos} \end{cases}\)

Legyen \(\; e := \lim\limits_{n \to + \infin} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\)

63. Fogalmazza meg egy valós szám \(m\)-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt, és adjon olyan eljárást, amivel ezek a számok nagy pontossággal előállíthatók

Megfogalmazás

Legyen \(A > 0 \quad (A \in \R)\).
Legyen \(m \geq 2 \quad (m \in \N)\).

Ekkor:

Pontosan egy olyan \(\alpha > 0 \; (\alpha \in \R)\) szám létezik, amelyre \(\alpha^m = A\).

\(\alpha\)-t az \(A\) szám \(m\)-edik gyökének nevezzük, és az \(\sqrt[m]{\alpha}\) szimbólummal jelöljük.

Eljárás

Az \(a_0 > 0\) tetszőleges valós szám.

Az \(\; a_{n+1} := \dfrac{1}{m} \cdot \left(\dfrac{A}{a_n^{m-1}} + (m - 1) \cdot a_n \right) \quad\) \((n \in \N)\)

rekurzióval értelmezett \((a_n)\) sorozat határértéke \(\; \sqrt[m]{A} \;\) azaz \(\\ \lim\limits_{n \to + \infin} a_n = \alpha = \sqrt[m]{A}\).

64. Hogyan szól a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel?

Minden, korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata.

Ez abból következik, hogy minden valós sorozatnak létezik monoton részsorozata.

65. Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak?

Az (\(a_n\)) sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha

\[ \forall \; \varepsilon > 0 \text{-hoz} \;\; \exist \; n_0 \in \N , \text{amelyre} \,\; \forall \; m,n > n_0 \,\;\text{indexre}\,\; |a_n - a_m | < \varepsilon \]

66. Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között?

Cauchy-sorozat egyszerűen megfogalmazva:

(\(a_n\)) akkor Cauchy-sorozat, ha az elég nagy indexű tagjai tetszőlegesen közel vannak egymáshoz

Ezek alapján ha egy sorozat konvergens akkor Cauchy-sorozat is.