Kérdések – part 2

67. Mi a végtelen sor definíciója?

Az $(a_n): \N \to \R$ sorozatból képzett

$s_n := a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n \quad (n \to \N)$

sorozatot az $(a_n)$ által generált végtelen sornak (röviden sornak) nevezzük.

Jelölései:

$\sum a_n$
$\sum\limits_{n=0}$
$a_0 + a_1 + a_2 + \dots$

Ekkor az mondjuk, hogy $s_n$ a $\sum a_n$ sor n. részletösszege, illetve $a_n$ a $\sum a_n$ sor n. tagja, ahol $n \in \N$.

68. Mit jelent az, hogy a $\sum a_n$ végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?

Konvergens

Azt mondjuk, hogy az $a: \N \to \R$ sorozat által generált végtelen sor konvergens, ha a $\sum a$ sorozat, azaz a részletösszegek sorozata konvergens.

Összeg

A végtelen sor határértéke: $\sum\limits_{k=0}^{+ \infin} a_k := \lim \sum a = \lim (s_n)$

A végtelen sor határértékét a sor összegének nevezzük.

+69. Milyen tételt ismer $q \in \mathbb{R}$ esetén a $\underset{n=0}{\sum}q^n$ geometriai sor konvergenciájáról?

Tetszőleges $q^n\,:\;q\in\R$ sorozatból képzett $\underset{n=0}{\sum}q^n$ mértani sor akkor és csak akkor konvergens, ha $|q|<1$.

\[ \sum^{\infty}_{k = 1} q^k = \begin{cases} \; + \infty, \quad q \ge 1; \\ \; \dfrac{1}{1 - q}, \;\; |q| < 1; \\ \; \nexists, \quad\quad\;\; q \le -1. \end{cases}\]

70. Mi a harmonikus sor, és milyen állítást ismer a konvergenciájával kapcsolatban?

$\sum\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$ sor divergens. Mivel a sor pozitív tagú, ezért a részletösszegek $\nearrow$ sorozatának határértéke + $\infty$

Biz.:

Legyen $n \in \N, \, n \ge 1$ ekkor

\[ s_{2n-1} - s_{n-1} = \dfrac{1}{n+1} + \dots + \dfrac{1}{2n} \ge n * \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2} \]

Következésképpen a $\sum\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$ sorra $\varepsilon = \dfrac{1}{2}$ választással nem teljesül a Cauchy-féle konvergecia kritérium

?71. Milyen állítást ismer a $\; \sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ hiperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban?

Legyen $\alpha$ rögzített valós szám.

A $\sum \left(\dfrac{1}{(n+1)^\alpha}\right) = 1 + \dfrac{1}{2^\alpha}+\dfrac{1}{3^\alpha}+\dfrac{1}{4^\alpha}+\dots$

hiperharmonikus sor

$\alpha \le 1$ esetén divergens, és $\displaystyle\sum^{+\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{n^\alpha} = +\infty$
$\alpha > 1$

72. Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra?

A $\sum a$ sor akkor és csak akkor konvergens, ha $\forall \varepsilon > 0$ számhoz $\exists N \in \N$ küszöbindex hogy $\forall m,n > N $ (pl. m > n) esetén $|s_m -s_n | = | a_{n+1} + \dots + a_m | < \varepsilon$ ahol $(s_n)$ a részletösszegek sorozatát jelöli.

73. Mondja ki a tanult szükséges feltételt arra nézve, hogy a $\sum(a_n)$ végtelen sor konvergens legyen!

Ha az $(a_n)$ sorozat által genrált $\sum(a_n)$ sor konvergens, akkor $(a_n)$ nullsorozat.

Nullsorozatból generálható konvergens sor. Ez szükséges, de nem elégséges feltétel.

(nem tehát ha $(a_n)$ nullasorozat akkor a sor nem biztos, hogy konvergens, de ha a sor konvergens, akkor $(a_n)$ biztos, hogy nullasorozat

74. Igaz-e, hogy ha $\lim (a_n) = 0$, akkor $\sum a_n$ sor konvergens? A válaszát indokolja

Nem igaz az állítás. Ugyan a $\lim (a_n) = 0$ egy szükséges feltétel, de nem elégséges. Attól, hogy teljesül még nem biztos, hogy a sor konvergens.

75. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumokat!

Legyen $0 \leq a_n \leq b_n \quad (n \in \N)$.

Majoráns kritérium

Ha $\sum(b_n)$ konvergens, akkor $\sum(a_n)$ is konvergens.

Minoráns kritérium

Ha $\sum(a_n)$ divergens, akkor $\sum(b_n)$ is divergens.

76. Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek?

A $\sum a_n$ sor abszolút konvergens, ha a $\sum |a_n|$ sor konvergens.

Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

77. Mikor nevez egy végtelen számsort feltételesen konvergensnek?

A $\sum a_n$ sor feltételesen konvergens, ha $\sum a_n$ konvergens, de nem abszolút konvergens.

78. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritériumot!

Legyen $a: \N \to \R$ olyan sorozat, amelyre $\exist \; A := \lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \overline{\R}$.

Ha $A < 1$, akkor a $\sum(a_n)$ sor abszolút konvergens.

Ha $A > 1$, akkor a $\sum(a_n)$ sor divergens.

Ha $A = 1$, akkor a $\sum(a_n)$ sor lehet konvergens és divergens is.

79. Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyökkritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Válaszát példákkal is illusztrálja!

A $\lim\limits_{n \to + \infin} (\sqrt[n]{|a_n|}) = 1$ egy határozatlan eset.

Példa 1 - Cauchy

$a_n = \dfrac{1}{n} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)$

$\lim \sqrt[n]{n} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\sqrt[n]{|\dfrac{1}{n}|}) = 1$

A $\sum (\dfrac{1}{n + 1})$ a harmonikus sor, amely divergens.

Példa 2 - Cauchy

$a_n = \dfrac{1}{n^2} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)$

$\lim \sqrt[n]{n^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\sqrt[n]{|\dfrac{1}{n^2}|}) = 1$

A $\sum (\dfrac{1}{(n + 1)^2})$ a szuperharmonikus sor, amely konvergens.

80. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskritériumot!

Legyen $a: \N \to \R$ olyan sorozat, amelyre $a_n \neq 0 \; (n \in \N)$, és $\quad \exist \; A := \lim\left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) \in \overline{\R}$.

Ha $a < 1$, akkor a $\sum(a_n)$ sor abszolút konvergens.

Ha $a > 1$, akkor a $\sum(a_n)$ sor divergens.

Ha $a = 1$, akkor a $\sum(a_n)$ sor lehet konvergens és divergens is.

81. Mit jelent az, hogy a D'Alembert-féle hányadoskritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt!

A $\lim\limits_{n \to + \infin} \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = 1$ egy határozatlan eset.

Példa 1 - D'Alembert

$a_n = \dfrac{1}{n} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)$

$\lim \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{\dfrac{1}{n + 1}}{\dfrac{1}{n}}\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{n}{n + 1}\right) = 1$

A $\sum \left(\dfrac{1}{n}\right)$ a harmonikus sor, amely divergens.

Példa 2 - D'Alembert

$a_n = \dfrac{1}{n^2} \quad (n \in \N, \; n \geq 1)$

$\lim \left(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right) = \lim\limits_{n \to \infin} \left(\dfrac{n^2}{(n + 1)^2}\right) = 1$

A $\sum \left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ a szuperharmonikus sor, amely konvergens.

82. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban?

Leibniz-típusú sor: $\sum\limits_{n=1} (-1)^{n+1} \cdot a_n \; = \; a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots$

A Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha $\; \lim (a_n) = 0$.

83. Milyen hibabecslést tud adni a Leibniz-típusú sorok összegeire?

Leibniz-típusú sor: $\sum\limits_{n=1} (-1)^{n+1} \cdot a_n \; = \; a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots$

Tegyük fel, hogy a Leibniz-típusú sor konvergens és az összege $\; A := \sum\limits_{n=1}^{+ \infin} (-1)^{n+1} \cdot a_n$

Ekkor $\; \left|A \; - \; \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \cdot a_k \right| \leq a_{n + 1} \quad (n \in \N^+)$

84. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens!

$\underset{n=1}{\sum}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$

85. Mit értünk egy $[0, 1]$-beli szám diadikus tört alakján?

$\forall \alpha \in [0,1]\,:\;\exists\,(a_n)\,:\;\N^+\rightarrow \{0,\dots,p-1\}:$

\[ \alpha = \underset{n=1}{\overset{+\infin}{\sum}}\dfrac{a_n}{p^n}\quad(p = 2) \]

\[ \lor \]

$\forall \alpha \in [0,1]\,:\;\exists\,(a_n)\,:\;\N^+\rightarrow \{0,1\}:$

\[ \alpha = \underset{n=1}{\overset{+\infin}{\sum}}\dfrac{a_n}{2^n} \]

86. Melyik $[0, 1]$-beli számoknak nincs egyértelm¶ diadikus tört alakja?

Minden számnak egyértelműen létezik diadikus tört alakja, maximum nem véges

87. Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelezését?

Legyen $\underset{n=1}{\sum}a_n$ egy végtelen sor és $(m_n)\,:\;\N\rightarrow\N$ szigorúan monoton növekvő indexsorozat, ahol $m_0:=0$.

Ekkor $\underset{n=1}{\sum}a_n$ sor $(m_n)$ indexsorozattal meghatározott zárójelezése az:

\[ \alpha_n:=\underset{k=m_{n-1}+1}{\overset{m_n}{\sum}}a_k\qquad(n\in\N^+) \]

által definiált $\underset{n=1}{\sum}\alpha_n$ végtelen sor.

88. Tegyük fel, hogy a $\sum a_n$ végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor $\sum \alpha_n$ zárójelezéseinek a konvergenciájáról?

Egy konvergens sor minden zárójelezése is konvergens sor, és összege az eredeti sor összegével egyenlő.

89. Tegyük fel, hogy a $\sum a_n$ végtelen sor valamely $\sum \alpha_n$ zárójelezett sora konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a $\sum a_n$ végtelen sor?

Legyen $\sum\limits_{n=1} \alpha_n$ a $\sum\limits_{n=1} a_n$ sor $(m_n)$ indexsorozat által meghatározott zárójelezése.

Tegyük fel, hogy

a zárójelek hossza korlátos, azaz $(m_{n+1} - m_n)$ korlátos sorozat,
$\lim (a_n) = 0$,
a $\sum\limits_{n=1} \alpha_n$ sor konvergens.

Ekkor a $\sum\limits_{n=1} a_n$ is konvergens, és $\sum\limits_{n=1}^{+ \infin} \alpha_n \; = \; \sum\limits_{n=1}^{+ \infin} a_n$.

90. Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését?

Legyen $\sum a_n$ egy adott végtelen sor. Tegyük fel, hogy $(p_n): \N \to \N$ egy bijekció, (más szóval $p$ egy permutációja $\N$-nek). Ekkor a $\sum a_{p_n}$ végtelen sort a $\sum a_n$ sor $(p_n)$ által meghatározott átrendezésének nevezzük.

91. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően?

Ha a $\sum a_n$ végtelen sor abszolút konvergens, akkor tetszőleges $(p_n): \N \to \N$ permutációval képzett $\sum a_{p_n}$ átrendezése is konvergens, és

$\sum\limits_{n=0}^{+ \infin} a_{p_n} \; = \; \sum\limits_{n=0}^{+ \infin} a_n$.

Tehát egy abszolút konvergens sor bármely átrendezése is abszolút konvergens sor, és összege ugyanaz, mint az eredeti soré.

92. Milyen állítást ismer feltételesen konvergens sorok átrendezéseit illetően?

Legyen $\sum a_n$ feltételesen konvergens sor, ekkor:

minden $A \in \overline{\R}$ esetén létezik olyan átrendezése, amelynek összege $A$
van olyan átrendezése, aminek nincs összege

93. Definiálja a $\sum a_n$ és $\sum b_n$ végtelen sorok téglányszorzatát!

$\sum \limits_{n=0} t_n$

$t_n \; := \sum \limits_{\max \{i, j\} = n} a_i \; b_j \quad \quad (n \in \N, \; \; n \geq 0)$

94. Definiálja a $\sum a_n$ és $\sum b_n$ végtelen sorok Cauchy-szorzatát!

$\sum \limits_{n=0} \; c_n$

$c_n \; := \sum \limits_{i+j=n} a_i \; b_j \; = \; \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \; b_{n-k} \quad \quad (n \in \N, \; \; n \geq 0)$

95. Milyen tételt ismer végtelen sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően?

Tegyük fel, hogy a $\sum a_n$ és a $\sum b_n$ végtelen sorok konvergensek. Ekkor a $\sum t_n$ téglányszorzatuk is konvergens és

$\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} t_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} a_n \cdot \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} b_n$

96. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzataira vonatkozó tételt!

Tegyük fel, hogy a $\sum a_n$ és a $\sum b_n$ végtelen sorok mindegyike abszolút konvergensek.

Ekkor:

a $\sum \limits_{n=0} t_n$ téglányszorzat is abszolút konvergens
a $\sum \limits_{n=0} c_n$ Cauchy-szorzat is abszolút konvergens
az összes $a_i b_j$ $(i, j \in \N)$ szorzatból tetszés szerinti sorrendben és csoportosításban képzett $\sum \limits_{n=0} d_n$ végtelen sor is abszolút konvergens, és

$\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} d_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} t_n \; = \; \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} c_n \; = \; \left(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} a_n\right) \cdot \left(\sum \limits_{n=0}^{+ \infin} b_n\right)$

97. Írja le a hatványsor definícióját!

Legyen $\; x_0, x \in \R, \; \; a: \N \to \R$.

Ekkor a

$\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k) \; = \; a_0 + a_1 \cdot (x - x_0) + a_2 \cdot (x - x_0)^2 + \dots \quad \quad (x \in \R)$

sort hatványsornak nevezzük.

$x_0:$ a hatványsor középpontja
az $a_k$ számok a hatványsor együtthatói

98. Hogyan szól a hatványsor konvergenciahalmazára vonatkozó, a konvergenciasugarát meghatározó tétel?

A $H = \{x \in \R: \sum (a_k \cdot (x - x_0)^k \; \text{konvergens})\}$ halmazt a $\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k)$ hatványsor konvergenciahalmazának nevezzük.

$R$: a hatványsor konvergenciasugara

Tetszőleges $\sum (a_k \cdot (x - x_0)^k)$ hatványsor konvergenciahalmazára a következő 3 eset egyike áll fent:

(1.) $\exist \; 0 < R < + \infin$, hogy a hatványsor

$\; \quad \forall x \in \R: |x - x_0| < R$ pontban abszolút konvergens és

$\; \quad \forall x \in \R: |x - x_0| > R$ pontban divergens

(2.) A hatványsor csak az $x = x_0$ pontban konvergens. Ekkor legyen $R := 0$.

(3.) A hatványsor abszolút konvergens $\forall x \in \R$ esetén. Ekkor legyen $R := + \infin$.

99. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a $(−1, 1)$ intervallum!

$H \left(\sum \limits_{n=0} x^n\right) \; = \; (-1, 1)$

100. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a $(−1, 1]$ intervallum!

$H \left(\sum \limits_{n=1} \dfrac{(-1)^n}{n} x^n\right) \; = \; (−1, 1]$

101. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a $[−1, 1)$ intervallum!

$H \left(\sum \limits_{n=1} \dfrac{1}{n} x^n\right) \; = \; [−1, 1)$

102. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a $[−1, 1]$ intervallum!

$H \left(\sum \limits_{n=1} \dfrac{1}{n^2} x^n\right) \; = \; [−1, 1]$

103. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az $a = 2$ pontban konvergens!

$\sum n^n (x - 2)^n$

104. Definiálja az $\exp$ függvényt!

$\exp(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \; \dfrac{x^n}{n!} \; = \; 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots \quad (x \in \R)$

105. Definiálja a $\sin$ függvényt!

$\sin(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \; (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \; = \; x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \dots \quad (x \in \R)$

106. Definiálja a $\cos$ függvényt!

$\cos(x) := \sum \limits_{n=0}^{+ \infin} \; (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} \; = \; 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots \quad (x \in \R)$

107. Mit jelent az, hogy $a \in \overline{\R}$ torlódási pontja a $H \subset \R$ halmaznak?

$a \in \R$ az $A \subset \R$ halmaz torlódási pontja, ha az $a$ minden környezetében az $A$ halmaznak végtelen sok pontja van:

$\forall \; \varepsilon > 0$ esetén $K_{\varepsilon}(a) \cap A$.

Az $A$ halmaz torlódási pontjainak halmazát $A'$-vel jelöljük, és az $A$ derivált halmazának nevezzük.

108. Mit jelent az, hogy $a \in H$ izolált pontja a $H \subset \R$ halmaznak?

$\exist \; \varepsilon > 0$: $(K_{\varepsilon}(a) \; \setminus \; \{a\}) \cap A \; = \; \empty$

109. Hogyan értelmezi egy $f: \R \to \R$ függvénynek egy $a \in D'_f$ helyen vett határértékét?

Azt mondjuk, hogy az $\; f \in \R \to \R \;$ függvénynek az $\; a \in D'_f \;$ pontban van határértéke, ha

$\exists \; A \in \overline{\R}$, $\; \forall \varepsilon > 0$-hoz $\; \exist \delta > 0 \;$, $\forall x \in \left(K_{\delta}(a) \; \setminus \; \{a\}\right) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A)$.

Ekkor $A$-t a függvény $a$-beli határértékének nevezzük.

Jelei:

$\lim \limits_{x \to a} \; f(x) = A$
$\lim \limits_{a} \; f = A$
$f(x) \to A$, ha $\; x \to a$

110. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját!

$a \in \R$
$A \in \R$

$\forall \varepsilon > 0$-hoz $\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta$:

$|f(x) - A| < \varepsilon$

111. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját!

$a \in \R$
$A = +\infin$

$\forall P > 0$-hoz $\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta$:

$f(x) > P$

112. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját!

$a \in \R$
$A = -\infin$

$\forall P < 0$-hoz $\; \exists \delta > 0, \; \forall x \in D_f, \; 0 < |x - a| < \delta$:

$f(x) < P$

113. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját!

$a = +\infin$
$A \in \R$

$\forall \varepsilon > 0$-hoz $\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0$:

$|f(x) - A| < \varepsilon$

114. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját!

$a = -\infin$
$A \in \R$

$\forall \varepsilon > 0$-hoz $\; \exists x_0 < 0, \; \forall x \in D_f, \; x < x_0$:

$|f(x) - A| < \varepsilon$

115. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját!

$a = +\infin$
$A = +\infin$

$\forall P > 0$-hoz $\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0$:

$f(x) > P$

116. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját!

$a = +\infin$
$A = -\infin$

$\forall P < 0$-hoz $\; \exists x_0 > 0, \; \forall x \in D_f, \; x > x_0$:

$f(x) < P$

117. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját!

$a = -\infin$
$A = -\infin$

$\forall P < 0$-hoz $\; \exists x_0 < 0, \; \forall x \in D_f, \; x < x_0$:

$f(x) < P$

118. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet!

Legyen $f \in \R \to \R$, $\; a \in D'_f \;$ és $\; A \in \overline{\R} \;$. Ekkor

$\lim \limits_{a} \; f = A \; \iff \; \forall (x_n): \N \to D_f \; \setminus \; \{a\},$

$\lim \limits_{n \to +\infin} x_n = a \;$ esetén $\; \lim \limits_{n \to +\infin} f(x_n) = A$

119. Hogyan szól a függvények szorzatának a határértékére vonatkozó tétel?

Legyen $\; f \in \R \to \R, \;\; g \in \R \to \R$.

Ha $a \in (D_f \; \cap \; D_g)' \;$ és

$\exist \lim\limits_{a} f = A \in \overline{\R}$
$\exist \lim\limits_{a} g = B \in \overline{\R}$,

akkor

$\exist \lim\limits_{a} (f \cdot g)$ és $\lim\limits_{a} (f \cdot g) = A \cdot B$

feltéve, hogy a jobb oldali művelet értelmezve van.

120. Hogyan szól a függvények hányadosának a határértékére vonatkozó tétel?

Legyen $\; f \in \R \to \R, \;\; g \in \R \to \R$.

Ha $a \in (D_f \; \cap \; \{x \in D_g: g(x) \neq 0\})' \;$ és

$\exist \lim\limits_{a} f = A \in \overline{\R}$
$\exist \lim\limits_{a} g = B \in \overline{\R}$,

akkor

$\exist \lim\limits_{a} \dfrac{f}{g}$ és $\lim\limits_{a} \dfrac{f}{g} = \dfrac{A}{B}$

feltéve, hogy a jobb oldali művelet értelmezve van.

121. Definiálja függvény jobb oldali határértékét!

Legyen $f \in \R \to \R$. Tegyük fel, hogy $a \in (D_f)'_+$. Tekintsük a $J_a = D_f \cap (a, +\infin)$ halmazt, és az $f$ függvénynek az erre való f_{J_a} leszűkítését.

Ha az $f_{J_a}$ függvénynek létezik az a pontban határértéke, akkor azt az $f$ függvény a pontbeli jobb oldali határértékének nevezzük.

Jelölés: $\lim\limits_{a+0} f \; := \; \lim\limits_{a} f_{J_a}$

122. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékéről?

TFH. $\sum\alpha(x-a)^n$ hatványsor $R$ konvergenciasugara pozitív. összegfüggvénye:

\[ f(x):=\underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}\alpha(x-a)^n\quad\Big(x\in K_R(a)\Big) \]

Ekkor $\forall b\in K_R(a)$ pontban létezik a $\underset{x\rightarrow b}{\lim}\,f(x)$ határérték, és

\[ \underset{x\rightarrow b}{\lim}\,f(x) = f(b)= \underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}\alpha(b-a)^n \]

123. Mit tud mondani monoton növekvő függvények határértékéről?

Legyen $(\alpha,\beta)\subset\R$ tetszőleges nyílt intervallum.

Az adott monoton $f$ függvénynek $\forall\alpha\in(\alpha,\beta)$ pontban létezik jobb és baloldali határértéke, amik végesek, és:

\[ \underset{a+0}{\lim}\,f = \inf\Big\{f(x)\;\big|\;x\in(\alpha,\beta),\;x>a\Big\} \]

\[ \underset{a-0}{\lim}\,f = \sup\Big\{f(x)\;\big|\;x\in(\alpha,\beta),\;x<a\Big\} \]

124. Definiálja egy $f \in \R \rightarrow \R$ függvény pontbeli folytonosságát!

Az $f\in\R\rightarrow\R$ függvény folytonos az $a\in\mathcal{D}_f$ pontban, ha:

\[ \forall\varepsilon>0\,:\;\exists\delta>0,\;\forall x\in\mathcal{D}_f,\;|x-a|<\delta\,:\;\Big|f(x)-f(a)\Big| < \varepsilon \]

Jelölés: $f\in C\{a\}$

125. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között?

$f\in C\{a\}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\underset{a}{\lim}\,f~~~\text{és}~~~\underset{a}{\lim}\,f=f(a)$

126. Írja le a folytonosságra vonatkozó átviteli elvet!

TFH. $f\in\R\rightarrow\R$ és $a\in\mathcal{D}_f$.Ekkor:

\[ f\in C\{a\}\quad\Longleftrightarrow\quad\forall(x_n)\,:\;\N\rightarrow\mathcal{D}_f \]

\[ \;\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\,x_n=a~~~\text{esetén}~~~\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\,f(x_n)=f(a) \]

127. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról?

Minden hatványsor összegfüggvénye folytonos a hatványsor teljes konvergenciahalmazán.

128. Milyen tételt ismer a folytonos függvények előjeltartásáról?

TFH. az $f\in\R\rightarrow\R$ függvény folytonos az $a\in\mathcal{D}_f$ pontban és $f(a)>0$. Ekkor:

\[ \exists K(a),\;\forall x\in\mathcal{D}_f\,\cap\,K(a)\,:\;f(x)>0 \]

\[ \lor \]

$f(a)$ előjelét egy alkalmas $K(a)$ környezetben felvett függvényértékek is öröklik.

129. Mondja ki az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételt?

$f,g\in\R\rightarrow\R,\;g\in C\{a\}\,:\;f\in C\{g(a)\}\,:\;f\circ g \in C\{a\}$

\[ \lor \]

Az összetett függvény "örökli" a belső- és a külső függvény folytonosságát

130. Definiálja a megszüntethető szakadási hely fogalmát!

Az $a\in\mathcal{D}_f$ pont az $f$ függvény megszüntethető szakadási helye, ha:

\[ \exists\underset{a}{\lim}\,f\quad\text{véges határérték, de}\quad\underset{a}{\lim}\,f\ne f(a) \]

131. Definiálja az elsőfajú szakadási hely fogalmát!

Az $a\in\mathcal{D}_f$ pont az $f$ függvény ugrási helye (elsőfajú szakadása), ha:

\[ \exists\underset{a+0}{\lim}~~~\text{és}~~~\exists\underset{a-0}{\lim}\,f\quad\text{véges határértékek, de}\quad\underset{a+0}{\lim}\,f\ne \underset{a-0}{\lim}\,f \]

132. Mit tud mondani korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről?

Ha $f\in C[a,b]$, akkor $f$ korlátos az $[a,b]$ intervallumon.

133. Hogyan szól a Weierstrass-tétel?

Egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek mindig van abszolút maximum- és abszolút minimumhelye, azaz:

\[ f\in C[a,b]\quad\Longrightarrow\quad\exists\alpha,\beta\in[a,b],\;\forall x \in[a,b]\,:\;f(\beta)\le f(x)\le f(\alpha) \]

134. Mit mond ki a Bolzano-tétel?

Ha egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény az intervallum két végpontjában különböző előjelű értékeket vesz fel, akkor a függvénynek van zérushelye, azaz:

\[ f\in C [a,b]~~~\text{és}~~~f(a)\;\cdot\;f(b)<0\quad\Longrightarrow\quad\exists\xi\in(a,b):\;f(\xi)=0 \]

135. Mit jelent az, hogy egy függvény Darboux-tulajdonságú?

Legyen $I\subset\R$ tetszőleges intervallum.

Az $f\,:\;I\rightarrow\R$ ha minden $a,b\in I,\;a<b,\;f(a)\ne f(b)$ esetén az összes $f(a)$ és $f(b)$ közötti értéket felvesz $(a,b)$-ben, akkor Darboux-tulajdonságú.

136. Hogy szól az inverz függvény folytonosságára vonatkozó tétel?

Minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos és invertálható függvény esetében az invert függvény folytonos.

\[ \lor \]

\[ f:\;[a,b]\rightarrow\R,\;f\in[a,b],\;\exists\,f^{-1}\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}\in C(\mathcal{R}_f) \]

137. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konvex egy $I$ intervallumon?

Legyen $f\in\R\rightarrow\R$ és $I\subset\mathcal{D}_f$ egy intervallum. Akkor konvex, ha $\forall a,b\in I,\;a<b$ esetén igaz, hogy:

\[ f(x)\le\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\Big(x\in(a,b)\Big) \]

\[ \lor \]

$f\in\R\rightarrow\R$ függvény akkor és csak akkor konvex, ha az $I\subset\R$ intervallumon $\forall a,b\in I,\;a<b$ és $\forall\lambda\in(0,1)$ esetén

\[ f\Big(\lambda a+(1-\lambda)b)\le\lambda bf(a)+(a-\lambda)f(b) \]

138. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konkáv egy $I$ intervallumon?

Legyen $f\in\R\rightarrow\R$ és $I\subset\mathcal{D}_f$ egy intervallum. Akkor konkáv, ha $\forall a,b\in I,\;a<b$ esetén igaz, hogy:

\[ f(x)\ge\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\Big(x\in(a,b)\Big) \]

\[ \lor \]

$f\in\R\rightarrow\R$ függvény akkor és csak akkor konkáv, ha az $I\subset\R$ intervallumon $\forall a,b\in I,\;a<b$ és $\forall\lambda\in(0,1)$ esetén

\[ f\Big(\lambda a+(1-\lambda)b)\ge\lambda bf(a)+(a-\lambda)f(b) \]

139. Mondjon példát olyan konvex függvényre, amely nem szigorúan konvex!

\[ f(x)=1 \]

konstansfüggvény

\[ \lor \]

\[ f(x)=x \]

identitásfüggvény

140. Hogy szól az inverz függvény konvexitásáról szóló tétel?

TODO

141. Értelmezze az $ln$ függvényt!

\[ \ln:=\log:=\exp^{-1} \]

Természetes, vagy $e$ alapú logaritmusfüggvény

142. Mi a definíciója az $a^x\;(a, x \in \mathbb{R}, a > 0)$ hatványnak?

\[ a^x:=e^{x \cdot\ln a} \]

143. Értelmezze az $\log_a$ függvényt!

\[ \log_a:=(\exp_a)^{-1},\quad \text{ha}~~a>0~~\text{és}~~a\ne 1 \]

144. Mi a deníciója az $x^\alpha\;(x > 0, \alpha \in \mathbb{R})$ hatványfüggvénynek?

\[ h_\alpha:\;(a,+\infin)\ni x\mapsto x^\alpha:=e^{\alpha\ln x} \]

145. Hogyan értelmezzük a π számot?

TODO

146. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény periodikus? Adjon példát periodikus függvényre!

TODO

Kérdések – part 2

67. Mi a végtelen sor definíciója?

68. Mit jelent az, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?

Konvergens

Összeg

+69. Milyen tételt ismer \(q \in \mathbb{R}\) esetén a \(\underset{n=0}{\sum}q^n\) geometriai sor konvergenciájáról?

70. Mi a harmonikus sor, és milyen állítást ismer a konvergenciájával kapcsolatban?

?71. Milyen állítást ismer a \(\; \sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}\) hiperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban?

72. Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra?

73. Mondja ki a tanult szükséges feltételt arra nézve, hogy a \(\sum(a_n)\) végtelen sor konvergens legyen!

74. Igaz-e, hogy ha \(\lim (a_n) = 0\), akkor \(\sum a_n\) sor konvergens? A válaszát indokolja

75. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumokat!

Majoráns kritérium

Minoráns kritérium

76. Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek?

77. Mikor nevez egy végtelen számsort feltételesen konvergensnek?

78. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritériumot!

79. Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyökkritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Válaszát példákkal is illusztrálja!

Példa 1 - Cauchy

Példa 2 - Cauchy

80. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskritériumot!

81. Mit jelent az, hogy a D'Alembert-féle hányadoskritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt!

Példa 1 - D'Alembert

Példa 2 - D'Alembert

82. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban?

83. Milyen hibabecslést tud adni a Leibniz-típusú sorok összegeire?

84. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens!

85. Mit értünk egy \([0, 1]\)-beli szám diadikus tört alakján?

86. Melyik \([0, 1]\)-beli számoknak nincs egyértelm¶ diadikus tört alakja?

87. Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelezését?

88. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor \(\sum \alpha_n\) zárójelezéseinek a konvergenciájáról?

89. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor valamely \(\sum \alpha_n\) zárójelezett sora konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a \(\sum a_n\) végtelen sor?

90. Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését?

91. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően?

92. Milyen állítást ismer feltételesen konvergens sorok átrendezéseit illetően?

93. Definiálja a \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok téglányszorzatát!

94. Definiálja a \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok Cauchy-szorzatát!

95. Milyen tételt ismer végtelen sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően?

96. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzataira vonatkozó tételt!

97. Írja le a hatványsor definícióját!

98. Hogyan szól a hatványsor konvergenciahalmazára vonatkozó, a konvergenciasugarát meghatározó tétel?

99. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1)\) intervallum!

100. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1]\) intervallum!

101. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1)\) intervallum!

102. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1]\) intervallum!

103. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az \(a = 2\) pontban konvergens!

104. Definiálja az \(\exp\) függvényt!

105. Definiálja a \(\sin\) függvényt!

106. Definiálja a \(\cos\) függvényt!

107. Mit jelent az, hogy \(a \in \overline{\R}\) torlódási pontja a \(H \subset \R\) halmaznak?

108. Mit jelent az, hogy \(a \in H\) izolált pontja a \(H \subset \R\) halmaznak?

109. Hogyan értelmezi egy \(f: \R \to \R\) függvénynek egy \(a \in D'_f\) helyen vett határértékét?

110. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját!

111. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját!

112. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját!

113. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját!

114. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját!

115. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját!

116. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját!

117. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját!

118. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet!

119. Hogyan szól a függvények szorzatának a határértékére vonatkozó tétel?

120. Hogyan szól a függvények hányadosának a határértékére vonatkozó tétel?

121. Definiálja függvény jobb oldali határértékét!

122. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékéről?

123. Mit tud mondani monoton növekvő függvények határértékéről?

124. Definiálja egy \(f \in \R \rightarrow \R\) függvény pontbeli folytonosságát!

125. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között?

126. Írja le a folytonosságra vonatkozó átviteli elvet!

127. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról?

128. Milyen tételt ismer a folytonos függvények előjeltartásáról?

129. Mondja ki az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételt?

130. Definiálja a megszüntethető szakadási hely fogalmát!

131. Definiálja az elsőfajú szakadási hely fogalmát!

132. Mit tud mondani korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről?

133. Hogyan szól a Weierstrass-tétel?

134. Mit mond ki a Bolzano-tétel?

135. Mit jelent az, hogy egy függvény Darboux-tulajdonságú?

136. Hogy szól az inverz függvény folytonosságára vonatkozó tétel?

137. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konvex egy \(I\) intervallumon?