Tételek – part 2

16. A Cauchy-féle gyökkritérium

CAUCHYGYÖK - Tétel

Tekintsük a \(\sum a_n\) sort. Tegyük fel, hogy létezik:

\[ A = \lim_{n \to \infin}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} \in \overline\R \]

Ekkor:

\(0 \leq A < 1\) esetén a \(\sum a_n\) sor abszolút konvergens.
\(A > 1\), akkor a \(\sum a_n\) sor divergens
\(A=1\), akkor a \(\sum a_n\) sor lehet konvergens és divergens is

CAUCHYGYÖK - Bizonyítás

\(\sqrt[n]{\left|a_n\right|} \Rightarrow A \geq 0\)

CAUCHYGYÖK - Ha \(0 \leq A < 1\)

Vegyünk egy \(A\) és \(1\) közötti \(q\) számot!

\(\lim(\sqrt[n]{\left|a_n\right|}) < q \Rightarrow \exists n_0 \in \N: \forall n > n_0: \sqrt[n]{\left|a_n\right|} < q\), azaz \(\left|a_n\right|<q^n\)

\(\sum q^n\) mértani sor, és \(0 < \left|q\right| < 1\), ezért konvergens.

Ezt a kettőt, és a majoráns kritériumot (egy indextől kezdve \(|a_n| < q^n\) ) felhasználva \(\sum\left|a_n\right|\) is konvergens, tehát \(\sum a_n\) abszolút konvergens.

CAUCHYGYÖK - Ha \(A > 1\)

Vegyünk egy \(1\) és \(A\) közötti \(q\) számot.

\(\lim(\sqrt[n]{|a_n|}) > q \Rightarrow \exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: \sqrt[n]{|a_n|} > q\), azaz \(|a_n|>q^n\)

Mivel \(|a_n| > q^n > 1 \Rightarrow |a_n| > 1\).

Ebből következik, hogy \(\lim(a_n) \ne 0\), tehát a \(\sum a_n\) sor divergens.

CAUCHYGYÖK - Ha \(A = 1\)

Két példával mutatjuk be:

\(\sum \dfrac1n\) divergens sor, akkor \(|a_n| = \dfrac1n\), és \(\lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\dfrac1{\sqrt[n]{n}})=1\)

\(\sum \dfrac1{n^2}\) konvergens sor, akkor \(|a_n| = \dfrac1{n^2}\), és \(\lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\dfrac1{\sqrt[n]{n^2}})=1\)

17. A d'Alembert-féle hányadoskritérium

DALEMBERT - Tétel

Tegyük fel, hogy egy \(\sum a_n\) sor egyik tagja sem 0, és létezik

\[ A := \lim_{n\to\infin}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \in \overline\R \]

Akkor:

Ha \(0 \leq A < 1\), akkor a sor abszolút-konvergens
Ha \(1 < A\), akkor a sor divergens
Ha \(A=1\), akkor a sor lehet konvergens és divergens is

DALEMBERT - Bizonyítás

DALEMBERT - Bizonyítás - \(0 \leq A < 1\)

Vegyünk egy \(q\) számot, hogy \(A < q < 1\).

Ekkor:

\[ \lim_{n\to\infin}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| < q \Rightarrow\exists n_0 \in \N: \forall n > n_0: \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<q \]

Azaz

\[ \exists n_0 \in \N: \forall n > n_0: |a_{n+1}|<q|a_n| \]

Tehát

\[ |a_{n_0+1}|<q|a_{n_0}|, |a_{n_0+2}|<q|a_{n_0+1}|, \dots|a_{n-1}|<q|a_{n-2}|,|a_{n}|<q|a_{n-1}| \]

A \(q^n\) sorozat szigorú monotonitása miatt:

\[ |a_n|<q|a_{n-1}|<q^2|a_{n-2}|<\dots<q^{n-n_0-1}|a_{n_0+1}|<q^{n-n_0}|a_{n_0}| = q^{-n_0}|a_{n_0}|q^n \]

Legyen \(a:=q^{-n_0}|a_{n_0}|\), konstans

Ekkor \(|a_n|<aq^n\). Mivel \(\sum aq^n\) konvergens (\(-1 < q < 1\)), ezért a majoráns kritérium szerint \(\sum |a_n|\) is konvergens, tehát \(a_n\) abszolút konvergens

DALEMBERT - Bizonyítás - \(1 < A\)

Vegyünk fel egy \(q\)-t, hogy \(1<q<A\).

\[ \lim_{n\to\infin}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>q \Rightarrow \exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>q \]

Tehát:

\[ \exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: |a_{n+1}| > q|a_n| > |a_n| \]

Ebből következik, hogy \(\lim_{n\to\infin} a_n \ne 0\), tehát \(\sum a_n\) divergens.

18. Leibniz-típusú sorok konvergenciája

TODO

19. Sorok téglányszorzatának konvergenciája

TÉGLÁNY - Tétel

Legyen \(\sum_{n=0} a_n\) és \(\sum_{n=0} b_n\) végtelen sorok konvergensek. Ekkor \(\sum_{n=0} t_n\) téglányszorzatuk konvergens, és

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}t_n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\cdot\sum_{n=0}^{+\infin}b_n \]

TÉGLÁNY - Bizonyítás

Legyen \(A_n\), \(B_n\) és \(T_n\) a \(\sum_{n=0}a_n\), \(\sum_{n=0}b_n\) és \(\sum_{n=0}t_n\) sorok n-edig részletösszege.

\[ T_n = \sum_{k=0}^n t_k=\sum_{k=0}^n\left(\sum_{max\{i,j\}=k}a_ib_j\right)=\sum_{max\{i,j\}\leq n}a_ib_j=\left(\sum_{i=0}^na_i\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^nb_j\right) = A_nB_n \to \left(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{+\infin}b_n\right) \]

Tehát

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}t_n=\lim(T_n)=\left(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{+\infin}b_n\right) \]

20. Hatványsor konvergenciasugarára vonatkozó tétel

KONVSUG - Tétel

tetszőleges \(\sum_{n=0}\alpha_n(x-a)^n\) hatványsor konvergenciahalmazára a következő három eset egyike áll fenn:

\(\exists0<R<+\infin\), hogy a hatványsor \(\forall x \in \R: |x-a|<R\) pontban abszolút konvergens és \(\forall x \in \R: |x-a|>R\) pontban divergens.
A hatványsor csak az \(a\) pontban konvergens. Ekkor \(R := 0\)
A hatványsor abszolút konvergens bármilyen \(x \in \R\) esetén. Ekkor \(R := +\infin\)

\(R\) - konvergenciasugár

KONVSUG - Segédtétel

Tfh. \(\sum \alpha_n x^n\) konvergens egy \(x_0 \neq 0\) pontban. Ekkor minden \(x\) (\(|x|<|x_0|\)) pontban abszolút konvergens a hatványsor.

KONVSUG - Segédtétel bizonyítása

Mivel a hatványsor konvergens \(x_0\) pontban, ezért \(\sum \alpha_n x^n_0\) végtelen sor konvergens, tehát \(\lim_{n\to+\infin}\alpha_n x^n_0=0\), tehát \((\alpha_nx_0^n)\) korlátos.

\[ \exist M > 0: |\alpha_nx_0^n|\leq M < +\infin \]

Ekkor, ha veszünk egy x-et, hogy \(|x|<|x_0|\), akkor

\[ |\alpha_nx^n|=|\alpha_nx_0^n|\cdot\left|\dfrac{x}{x_0}\right|^n\leq M\cdot\left|\dfrac{x}{x_0}\right|=Mq^n \]

, ha \(q:=\left|\dfrac{x}{x_0}\right|\).

A \(\sum Mq^n\) sor konvergens, mert \(\left|\dfrac{x}{x_0}\right|<1\). Így a majoráns kritérium szerint a \(\sum|\alpha_nx^n|\) sor is konvergens, tehát \(\sum\alpha_nx^n\) abszolút konvergens.

KONVSUG - Bizonyítás

Elég \(a=0\) esetén igazolni a tételt.

Vegyük a \(\sum \alpha_nx^n\) hatványsort. Ez \(x=0\)-ban konvergens, ezért \(KH(\sum\alpha_nx^n)\neq\varnothing\), tehát

\[ \exist R := \sup \mathrm{KH}(\sum\alpha_nx^n) \quad \text{és} \quad R \geq 0 \]

Három eset lehetséges

\(0 < R < +\infin\). Legyen \(|x|<R\) tetszőleges. Ekkor a szuprémum miatt \(\exists x_0>0:|x|<x_0<R\) ÉS \(x_0 \in \mathrm{KH}\), azaz \(\sum \alpha_nx^n_0\) konvergens. A segédtétel szerint tehát \(\sum \alpha_nx^n\) abszolút konvergens. Ha \(|x|>R\), akkor az \(R\) szám definíciója, és a segédtétel szerint a \(\sum \alpha_nx^n\) végtelen sor divergens.
\(R=0\). A sor az \(x=0\) pontban triviálisan konvergens. Tegyük fel, hogy az \(x \neq 0\) pontban is konvergens. Ekkor a segédtétel szerint a \(\dfrac{|x|}{2}>0\) pontban is konvergensnek kell lennie. Viszont ebben az esetben a szuprémum nem lehet 0, tehát a hatványsor csak az \(x=0\) pontban lehet konvergens.
\(R = +\infin\). Legyen \(x \in \R\) tetszőleges. Ekkor a szuprémum definíciója szerint \(\exists n_0 >0: |x|<x_0\) és \(x_0\) a KH eleme, azaz \(\sum\alpha_nx_0^n\) konvergens. Ekkor a segédtétel szerint \(\sum\alpha_nx^n\) abszolút konvergens.

21. A Cauchy-Hadamard-tétel

CAHA - Tétel

Tekintsük a \(\; \sum \limits_{n=0} \alpha_n (x - a)^n \;\) hatványsort, és TFH. \(\; \exist \; \lim \left(\sqrt[n]{|\alpha_n|}\right) =: A \in \overline{\R}\).

Ekkor a hatványsor konvergenciasugara \(\; R = \dfrac{1}{A} \quad \left(\dfrac{1}{+\infin} := 0, \; \dfrac{1}{0} := +\infin \right)\).

CAHA - Bizonyítás

Nyilvánvaló, hogy \(A \geq 0\).
Rögzítsük tetszőlegesen az \(x \in \R\) számot, és alkalmazzuk a Cauchy-féle gyökkritériumot a \(\; \sum \limits_{n=0} \alpha_n (x - a)^n \;\) végtelen hatványsorra.

\(\lim\limits_{n \to +\infin} \sqrt[n]{\left| \alpha_n (x - a)^n \right|} \; =\)

\(\left(\lim\limits_{n \to +\infin} \sqrt[n]{\left| \alpha_n \right|} \right) \cdot |x - a| \; =\)

\(A \cdot |x - a| \;\), és így

\(A \cdot |x - a| < 1 \; \Longrightarrow \;\) a sor konvergens,

\(A \cdot |x - a| > 1 \; \Longrightarrow \;\) a sor divergens.

(1.) Ha \(\bf{0 < A < +\infin}\), akkor \(A\)-val lehet osztani, ás ekkor

\(x \in \left(a - \dfrac{1}{A}, \; a + \dfrac{1}{A} \right) \; \Longrightarrow \;\) a sor konvergens

\(x \not\in \left[a - \dfrac{1}{A}, \; a + \dfrac{1}{A} \right] \; \Longrightarrow \;\) a sor divergens

Ebből következik, hogy \(R = \dfrac{1}{A}\).

(2.) Ha \(\bf{A = +\infin}\), akkor \(\forall \; x \in \R, \; x \neq a: \; A \cdot |x - a| = (+\infin) \cdot |x - a| = +\infin > 1\).

Ezért a hatványsor az \(x = a\) pont kivételével divergens, azaz \(R = 0\).

(3.) Ha \(\bf{A = 0}\), akkor \(\forall \; x \in \R: \; A \cdot |x - a| = 0 \cdot |x - a| = 0 < 1\).

Ezért a hatványsor minden \(x \in \R\) pontban konvergens, azaz \(R = (+\infin)\).

22. Függvények határértékének egyértelm¶sége

FHE - Tétel

Ha az \(f \in \R \to \R\) függvénynek az \(a \in D'_{f}\) pontban van határértéke, akkor a definícióban szereplő \(A \in \overline{\R}\) (a határérték) egyértelműen létezik.

FHE - Bizonyítás

Definíció

Azt mondjuk, hogy az \(\; f \in \R \to \R \;\) függvénynek az \(\; a \in D'_f \;\) pontban van határértéke, ha

\(\exists \; A \in \overline{\R}\), \(\; \forall \varepsilon > 0\)-hoz \(\; \exist \delta > 0 \;\), \(\forall x \in \left(K_{\delta}(a) \; \setminus \; \{a\}\right) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A)\).

Ekkor \(A\)-t a függvény \(a\)-beli határértékének nevezzük.

TFH. 2 különböző \(A_1, A_2 \in \overline{\R}\) elem is eleget tesz a definíció feltételeinek.

Mivel 2 különböző \(\overline{\R}\)-beli elem diszjunkt környezetekkel szétválasztható, ezért

\(\exist \; \varepsilon > 0: \; K_{\varepsilon}(A_1) \; \cap \; K_{\varepsilon}(A_2) = \empty\)

A határérték definíciója szerint egy ilyen \(\varepsilon\)-hoz

\(\exist \, \delta_1 > 0, \; \forall \, x \in K_{\delta_1}(a) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A_1)\)
\(\exist \, \delta_2 > 0, \; \forall \, x \in K_{\delta_2}(a) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A_2)\)

Legyen \(\delta := \min\{\delta_1, \, \delta_2\}\).

Ekkor \(\forall \, x \in K_{\delta}(a) \cap D_f: \; f(x) \in K_{\varepsilon}(A_1) \cap K_{\varepsilon}(A_2) = \empty\),

de \(K_{\delta}(a) \cap D_f \neq \empty\), mert \(a \in D'_f\).

Ellentmondásra jutottunk, és ezzel a határérték egyértelműségét igazoltuk.

23. A határértékre vonatkozó átviteli elv

TODO

24. Monoton növekvő függvények határértéke

TODO

25. Az összetett függvény folytonossága

TODO

26. Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény korlátossága

TODO

27. Weierstrass tétele

TODO

28. A Bolzano-tétel

TODO

29. Az e szám irracionalitása

TODO

30. A \(\pi\) szám értelmezésére vonatkozó tétel

TODO