Elsőrendű logika 2

Változókiértékelés

Egy $\kappa: V\rightarrow \mathbb{U}$, ahol $V$ a nyelv változóinak halmaza, $\mathbb{U}$ pedig az interpretáció univerzuma

Változokíértékelés variánsa

legyen x változó: $\kappa^{*}$ válotzókiértékelése a $\kappa$ változokiértékelés x variánsa ha $\kappa^{*}(y)$ = $\kappa (y)$ minden x-től különböző y változó esetén

Formális definíció

Termek szemantikája

Ha $c$ Konstansszimbólum, $\|c\|^{\mathbb{I},\kappa}$ az $U$-beli $c^{\mathbb{I}}$ elem
Ha $x$ indivídum változó, $|x|^{I,\kappa}$ a $\kappa(x)\in\mathbb{U}$ elem, ahol $\kappa$ egy változókiértékelés.
$|f\left(t_{1},t_{2},\dots,t_{n}\right)|^{\mathbb{i},\kappa} = f^{\mathbb{I}}\left(\left(|t_{1}|^{\mathbb{I},\kappa},|t_{2}|^{\mathbb{I},\kappa},\dots,|t_{n}|^{\mathbb{I},\kappa}\right)\right)$

Formulakifejtés - Példa

U = {a, b, c}, formulakifejtés $\kappa$(y) = a, b, c-re:

$\kappa(y) = a$
- $| \forall P(x, y)|^{I,\kappa}$
- $= |\forall xP(x, a)|^I$
- $= P(a, a) \land P(b, a) \land P(c, a)$
$\kappa(y) = b$
- $ |\forall xP(x, y)|^{I,\kappa} $
- $ = |\forall xP(x, b)|^I$
- $ = P(a, b) \land P(b, b) \land P(c, b)$
$\kappa$(y) = c
- $|\forall xP(x, y)|^{I,\kappa}$
- $ = |\forall xP(x, c)|^I$
- $ = P(a, c) \land P(b, c) \land P(c, c)$

Komplett példa

Az interpretáló struktúrának van leíró nyelve:

L nyelv:
- $L = (=, P_{1}, P_{2}; a, b, f_{1}, f_{2})$
- szignatúra: $(2, 2, 2; 0, 0, 2, 2)$
a struktúra leíró nyelve:
- $S = N(=, <, >; 0, 1, +, ∗)$
- szigantúra: $(2, 2, 2; 0, 0, 2, 2)$

Komplett - Példa

Az értéktábla bár segítheti a formula megértését, nem írja le egyértelműen.

Term interpretációja - Példa

Formula értéktáblája

Egy 1. rendű formula prímformulái
- Atomi formulák
  - Paraméteres állítások
- Kvantált formulák
  - Állítások, ha zártak
Prímkomponensei
- Azon prímformulák, amikből a formula logikai összekötőjelekkel épül fel

Igazságtáblában

Első sor: állításváltozók
- Formula prímkomponensei és a formula
Változók alatt az igazságértékek (interpretációk)

Értéktáblában

Első sor: szabad változók, komponensek és a formula
Utána az individuumváltozók(amik kiértékelés után állítások)
- Alá lehetséges változókiértékelések,
- Megfelelő helyettesítési értékkel
- A formula alá a behelyettesített érték

Logikai igazság vs tautológia

Logikai igazság

A formula logikailag igaz (logikai törvény), ha G igaz minden lehetséges $\mathbb{I}$ interpretációra, és minden $\kappa$ változókiértékelésre

Ez azt jelenti, hogy G igaz minden lehetséges interpretáló struktúrában. Jelölés $\vDash G$.

Tautológia

A formula tautológia, ha a prímkomponensekhez rendelhető összes lehetséges igazságérték hozárendelése esetén a formula heylettesítési értéke Igaz

Példa

$\forall x P(x)\land \forall x Q(x) \supset \forall x P(x)$ formula prímkomponenst alakja $p \land q \supset p$, ami tautológia, de

$\forall x(P(x)\land Q(x)) \supset \forall x P(x)$ formula prímkomponens alakja $r \supset p$ nem tautológia (viszont mind a kettő logikailag igaz!)

Következményfogalom

G logikai(szemantikus) következménye az $\mathcal{F}$ formulahalmaznak, ha minden olyan $\mathcal{I}$ interpretációra, melyre $\mathcal{I} \models G$ is fennál