2. gyakorlat
Meta
Témák
- Másodfokú egyenletek/egyenlőtlenségek
- Diszkrimináns
- Polinomosztás
Órai feladatok
Képletek
Másodfokú egyenlet megoldóképlete
\[
ax^{2}+bx+c = 0
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
Ha a együtthatója 1
\[
a = 1\longrightarrow x = \frac{-b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2}-c
\]
Diszkrimináns
\[
D=b^{2}-4ac
\]
Összefüggések
\[
D > 0 → 2 gyök
\]
\[
D = 0 → 1 gyök
\]
\[
D < 0 → 0 gyök
\]
Viete-formulák
\[
ax^{2}+bx+c
\]
\[
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}
\]
\[
x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}
\]
Viete-formulák kiegészítés
\[
x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}
\]
\[
|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2-2x_{1}x_{2}}
\]
\[
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}
\]
Polinomok
Olyan többtagú kifejezések amelynek minden tagja számok és változók nem negatív egészkitevőjű hatványainak szorzata
Általános alak
\[
P(x)=a_{n} \times x^{}+a_{n-1} \times x^{n-1}+ ... + a_{1}\times x + a_{0}
\]
Példa
\[
P(x)=3x^{4}+7x^{3}+ 5x^{2}+6x+1
\]
Gyöktényezős felbontás
Minden legalább másodfokú polinom felbontható elsőfokú polinomok szorzatára (gyöktényezős felbontás)
\[
a_{n}\times(x-x_{1})\times(x-x_{2})\times...\times(x-x_{n})
\]
Minden n-ed fokú polinomnak n darab komplex gyöke van (többszörös gyök előfordulhat, 2 x/gyök megegyezik)
Polinomosztás
A természetes számokhoz hasonlóan – tudunk definiálni maradékos osztást. Ha az 𝑓 polinomot elosztjuk a 𝑔 polinommal, akkor egy olyan 𝑞 polinomot kapunk eredményként, melynek fokszáma kisebb, mint az eredeti 𝑓 polinomé, illetve ha kapunk 𝑚 maradék polinomot, annak fokszáma kisebb, mint a 𝑔 polinom fokszáma. Azt mondjuk, hogy az 𝑓 polinom osztható 𝑔-vel, ha a maradék 0
\[
\frac{polinom_{1}}{polinom_{2}} = eredmény + \frac{maradék}{polinom_{2}}
\]
to be continued...