3. gyakorlat

Abszolútérték

Egy szám abszolút értéke a számegyenesen a 0-tól való távolsága, tehát maga a szám, de előjel nélkül

\[ |x| =\begin{cases}x,\enspace ha \enspace 0 \leq x \\\ -x,\enspace ha \enspace x < 0\end{cases} \]

Tehát, x abszolútérték önmaga, ha nagyobb vagy egyenlő mint 0, és -x ha kisseb mint 0. (önmaga, ha nem negatív és -1 szerese, ha a szám negatív)

Egyenletek

Az egyenletben az abszolútértékes tagok számával arányosan több esetet is megkell vizsgálni. pl. egy abszolútértékes kifejezés esetében 1 (x < 0 és x ≥ 0), 2 esetében már felkell írni mindkettő absz. értékes tagot és megvizsgálni őket (2 tagnál általában 3 esetet)

Példa

\[ |2x - 7|+|2x+7|=x+15 \]

1. Abszolút értékek felbontása

\[ |2x-7| =\begin{cases} 2x-7,\enspace ha \enspace x \geq \frac{7}{2} \\\ -2x+7,\enspace ha \enspace x < \frac{7}{2} \end{cases} illetve \enspace |2x+7| =\begin{cases}2x+7,\enspace ha \enspace x \geq - \frac{7}{2} \\\ -2x-7,\enspace ha \enspace x < - \frac{7}{2} \end{cases} \]

2. Esetek kiszámolása

Itt arra kell figyelni, hogy amikor kállítjuk az eseteket tartalmazzák legalább egyszer azokat a számokat amire vizsgáljuk hogy x kisebb vagy nagyobb-e (ebben az esetben ez a 7/2 és a -7/2)

I. eset, ha x € (-végtelen, -2/7)

\[ -2x+7-2x-7=x+5 \]

A kapott eredmény x = -3 nem € (-végtelen, -2/7), ezért nem megoldás

II. eset, ha x € [-2/7, 2/7)

\[ -2x+7+2x+7=x+15 \]

A kapott eredmény x = -1 € [-2/7, 2/7), ezért megoldás

III. eset, ha x € [2/7, +végtelen)

\[ 2x-7+2x+7=x+15 \]

A kapott eredmény x = 5 € [2/7, +végtelen), ezért megoldás

3. Esetek összesítése

\[ x \in \\{\{-1;5\\}} \]

Gyöktelenítés

Módszer mely során a törtet úgy alakítjuk hogy a nevezőben ne szereplejen gyökjel

Négyzetgyöktelenítés

Ebben az esetben, bővítjük a nevezőben szereplő gyökkifejezéssel

\[ \frac{a}{n\sqrt{b}}=\frac{a}{n\sqrt{b}}\times\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{n\sqrt{b}^2}=\frac{a\sqrt{b}}{nb} \]
Ebben az esetben észre kell venni az azonosságot, majd bővítjük a nevezőben szereplő kifejezés konjugáltjával

\[ \frac{a}{\sqrt{b}+c}=\frac{a}{\sqrt{b}+c}\times\frac{\sqrt{b}-c}{\sqrt{b}-c}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{(\sqrt{b}+c)(\sqrt{b}-c)}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{b-c^2} \]

N-edik gyöktelenítés

Ebben az esetben, ha n legalább 2, bővítjük a nevezőben szereplő kifejezés n-1-edik hatványával

\[ \frac{a}{\sqrt[n]{b}}=\frac{a}{\sqrt[n]{b}}\times\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}=\frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{\sqrt[n]{b}\times(\sqrt[n]{b})^{n-1}}=\frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{b} \]

to be continued...