9. gyakorlat

Számhalmazok

\[ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \]

\[ természetes < egész < racionális < valós <komplex \]

Fogalom

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás, valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak

A komplex számok $z = a + bi$ alakú számok, és a komplex számsikon helyezkednek el $$ i^{2} = -1 $$

\[ z = \overbrace{a+bi}^{algebrai \ alak} \sim (a,b) \\\\ valós \ rész: \ Re(z) = a \\\\ képzetes \ rész: \ Im(z) = b \]

Műveletek

Összeadás

\[ (3+4i)+(-5+7i) = (3-5)+(4i+7i)=-2+11i \]

Kivonás

\[ (3+4i)-(-5+7i) = (3+5)-(4i+7i)=8-3i \]

Szorzás

\[ (3+4i)\times(-5+7i) = 15+21i-20i \ \overbrace{+28i^{2}}^{-28} \]

Hányados

\[ \frac{-5+7i}{3+4i}=\frac{-5+7i}{3+4i}\times\frac{3-4i}{3-4i}=\frac{-15+20i+21i \ \overbrace{-28i^{2}}^{28}}{3^{2}-(4i)^{2}} =\frac{13}{25}+\frac{41}{25}i \]