10. gyakorlat

Mátrix

\[ n \Biggl \{ \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11} &\cdots & a_{1m}\\\\ \vdots & & \vdots \\\\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}}_{m} = \underline{\underline{A}} \in\mathbb{R}^{n\times m} \]

Elemekre hivatkozás

\[ a_{11} = A(1,1) = (A)_{11} \]

Főátló

\[ a_{11}-a_{22}-a_{33}-... \]

\[ \begin{bmatrix} \searrow& \\ & \\ \\\\ \\ & \searrow& \\ \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} \searrow & \\ \\\\ \\ & \searrow\\\\ \\ & \\ \end{bmatrix} \]

Specialis matrixok

nullmátrix: minded eleme 0
sormátrix: 1 sora van; n=1
oszlopmátrix: 1 oszlopa van; m=1
négyzetes mátrix: n=m, sorszám=oszlopszám
felső háromszögmátrix: négyzetes, $a_{ij}=0; ha \\ i > j$
alsó háromszögmátrix: négyzetes, $a_{ij}=0; ha \\ i < j$
diagonális mátrix: alsó és felső háromszögmátrix; $a_{ij}=0; ha \\ i \neq j$
egység mátrix: diagonális mátrix; $a_{ij}=1;\\ \forall i-re$

Müveletek

i

\[ \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\\\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \\\\ 1 & 5 & 4 \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\\\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 6 \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 4 \\\\ 5 & 4 \end{bmatrix} = nem \\ elvégezhető \]

ii

\[ 3 \times \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 3 & 9 \\\\ 0 & 6 & 15 \end{bmatrix} \]

iii, mátrixszorzás

NEM kommutativ müvelet

\[ \begin{bmatrix} 2 & 4 \\\\ 5 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 10 & 26 \\\\ -10 & 13 & 35 \end{bmatrix} \]

\[ \quad \quad \quad \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} 2 & 4 \\\\ 5 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 10 & 26 \\\\ -10 & 13 & 35 \end{bmatrix} \]

\[ c_{11} = a_{11} \times b_{11} + a_{21} \times b_{21} \\\\ pl. \\ -4 = 2 \times -2 + 4 \times 0 \]

\[ A(B+C) = AB + AC; \\ (B+C)A = BA + CA \]

Transzponált

\[ \begin{bmatrix} \bcancel{-2} & 1 & 3 \\\\ 0 &\bcancel{2} & 5 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\\\ 1 & 2 \\\\ 3 & 5 \end{bmatrix} \]

\[ (A)_{ij} = (A^{T}) _{ji} \]

$\underline{\mathbb{R}}$	$\underline{\mathbb{R}}^{n\times m}$
0	$\underline{\underline{0}}$
1	$\mathbb{I}$
$a+(-a)$	$M+(-M)=\underline{\underline{0}}$

\[ \begin{bmatrix} 2 & 4 \\\\ 5 & 4 \end{bmatrix} ellentéte: \begin{bmatrix} -2 & -4 \\\\ -5 & -4 \end{bmatrix} \]

\(\underline{\mathbb{R}}\)	\(\underline{\mathbb{R}}^{n\times m}\)
0	\(\underline{\underline{0}}\)
1	\(\mathbb{I}\)
\(a+(-a)\)	\(M+(-M)=\underline{\underline{0}}\)