12. gyakorlat
Meta
Témák
- Vektorok
- Vektorterek
Órai feladatok
Vektorterek
A vektortér egy halmaz, amelynek elemeit, amelyeket gyakran vektoroknak neveznek, összeadhatjuk és megszorozhatjuk skalároknak nevezett számokkal. Általánosabban azt vizsgáljuk hogy V vektortere-e (részhalmaza) az adott tartománynak.
Vektortér axiomák
Vektorterek
\[
\mathbb{K}: Számhalmaz \\\\
\mathbb{V}: Struktúrahalmaz
\]
Összeadás
1.
\[
\forall \ x,y\in V: x+y\in V
\]
2.
\[
\forall \ x,y\in V: x+y=y+x
\]
3.
\[
\forall \ x,y,z\in V: (x+y)+z = x+(y+z)
\]
4.
\[
0\in V:x+0=x
\]
5.
\[
\forall \ x\in V,\ \exists(-x): x+(-x)=0
\]
Szorzás
1.
\[
\forall \ x\in V \land \lambda \in \mathbb{K}: \lambda x\in V
\]
2.
\[
\forall \ x\in V \land \lambda , \mu \in \mathbb{K}: \lambda (\mu x)= (\lambda \mu ) x
\]
3.
\[
\forall \ x\in V \land \lambda , \mu \in \mathbb{K}: x(\lambda \mu )= \lambda x + \mu x
\]
4.
\[
\forall \ x,y\in V \land \lambda \in \mathbb{K}: \lambda(x+y)= \lambda x + \lambda y
\]
5.
\[
x\in V, 1 \in \mathbb{K}: 1x=x
\]
A leggyakrabban használt axiomák bizonyitáshoz
Összeadás 1. (2 vektortérbeli vektort összeadva a vektortéren belül maradunk)
Összeadás 4. (Tartalmazza-e a 0-t)
Szorzás 1. (Bármilyen valós számmal szorozva x-et a vektorteren belül maradunk)
Példák
1
\[
S = \\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}: x,y \geq 0\\}
\]
- [X] Tartalmazza a 0-t (0, 0)
-
[X] Minden x, y része a \(\mathbb{R}^{2}\)
-
[ ] Viszont \(-1(1, 1) = (-1, -1)\) ami nem felel meg a feltételeknek
Emiatt ez nem altér
More examples soon...