Kihagyás

14. gyakorlat

Meta

Témák

  • Lineáris függetlenség

Órai feladatok

Lineáris függetlenség

Definició

Minimális definició

Egy vektorrendszer akkor összefüggö, ha valamelyeik vektor előállithato a többi vektor lineáris kombináciiójával, pl. \(\((1,2),(2,4)\)\) és független, ha a vektorok között nincsen összefüggés pl. \(\((1,0),(0,1)\)\)

Példa
\[ \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \end{pmatrix} \right \} \]

Ezeknek a vektoroknak megnézve a lineráris kombinációját, megkapjuk hogy az egyiket kitudjuk fejezni a masik vektor 2x-vel

\[ \lambda_{1}\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \end{pmatrix} + 2\lambda_{2} \begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \end{pmatrix} = (\lambda_{1}+ 2\lambda_{2}) \begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \end{pmatrix} = \lambda_{3} \begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \end{pmatrix} \]

Ebben a példában könnyen észrevehtő, hogy egy sikba esnek ezért a 2 vektor közül az egyik teljesen redundáns, mert nem ad új információt, irányt, dimenziót a vektor rendszerhez

\[ Span(\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \end{pmatrix}) = Span(\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \end{pmatrix}) \]

Ezzel kijelenthetjük hogy a vektorrendszerünk összefüggö, és elhagyhatjuk belőle az egyik vektorunk, mive la generált terünk ugyanaz marad

Kifejtve

A \(v_{1},v_{2},v_{3} \in \mathbb{R}^{4}\) vektorrendszer pontosan akkor összefüggö, ha léteznek olyan \(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} \in \mathbb{R}\) skalárok, amikkel

\[ \lambda_{1} v_{1} + \lambda_{2} v_{2} + \lambda_{3} v_{3} = 0 \]

egyenlőség teljesül, miközben nem mindegyikük 0, ha csak 0 értékekre teljesül akkor lineárisan független

might be contrinued