Kihagyás

Tételek 1 - Tanulási segédlet

Teljes indukció

  • S induktív halmaz ezért S=N

Szuprémum elv

  • H halmaz amibe felső korlátok vannak
  • A halmaz amibe a sorozat elemei vannak
  • Teljességi axióma: Két halmaz között kell legyen elem
  • Ez a szuprémum

Archimedészi tulajdonság

  • Minden \(a \cdot n > b\)
  • Indirekt módon bizonyítható
  • Feltesszük hogy van egy b ami nagyobb mint minden \(a \cdot n\)
  • Az összes \(a \cdot n\)-t halmazba rakjuk (\(H\))
  • Ennek a halmaznak kell legyen felső korlátja
  • Szuprémuma triviálisan \(b\).
  • Tehát \(b - \varepsilon\)-nál már van nagyobb \(n \cdot a\)
  • \(\varepsilon = a\)
  • gg

Cantor tulajdonság

  • Egymásba skatulyázott intervallumoknak van közös pontja
  • \(a_n\) a kezdőpontok sorozata, \(b_n\) a végpontoké
  • Minden \(a_n\) < \(b_m\) (a tranzitivitás miatt)
  • Teljességi axióma, van közötte egy \(\varepsilon\)
  • \(n=m\) esetén kapjuk a legkisebb intervallumot
  • lol nem üres mert teljességi axióma!!

Határérték egyértelműsge

  • Csak egy határérték van
  • Indirekt módon bizonyítjuk, legyen \(A_1\) és \(A_2\) is határérték
  • \(|A_1 - A_2|\)-hez hozzáadunk és kivonunk \(a_n\)-t
  • Kihozzuk határértékes alakra
  • Háromszögegyenlőtlenség erre az alakra
  • Jobb oldal kisebb mint \(\varepsilon + \varepsilon\)
  • \(\varepsilon := \frac{|A_1 - A_2|}{2}\)
  • Helyettesíts be, rendezz, és kijön a sussy

Sorozat konvergenciája és korlátosságának kapcsolata

  • Ha konvergens, korlátos is (alulról felülről is!)
  • Konvergencia definícióját írd fel
  • \(\varepsilon = 1\)
  • Korlátosság definícióját írd fel (az abszolút értékest)
  • Két részre bontjuk, ha n már küszöbindex fölött van, és ha alatta
  • Ha alatta, akkor easy mert maximuma az összes elemnek \(n_0\)-ig (abszolút értékben!!)
  • Ha nem, akkor \(|a_n|\)-hez hozzáadunk és kivonunk \(A\)-t, majd háromszögegyenlőtlenség time
  • A jobb oldal kisebb mint \(1 + |A|\)
  • Wow sure looks like something is always smaller than a value
  • Veszed a kettő maximumát, voila korlát

Monoton részsorozat létezése

  • Minden valós sorozatnak van monoton résszsorozata
  • Csúcselem fogalma
  • Két eset: végtelen vagy véges sok csúcselem
  • Ha végtelen, a csúcselemek sorozata monoton csökkenő, goodbye
  • Ha véges, az utolsó csúcselem után a sorozat monoton növekvő, goodbye

Közrefogási elv

  • Ha két szám ugyanoda tart, és egy N számtól kezdve egy sorozatot közrezárnak, akkor az is ugyan oda tart
  • Három lehetőség, vagy valósba, vagy \(\infin\) vagy \(-\infin\)-be tartanak

Első eset

  • Írd fel a konvergencia definícióját \(n_1\) \(n_2\) küszöbökkel a \(a_n\) \(c_n\)-re
  • \(n_0\) := nagyobb a kettő küszöb és az \(N\) közül (\(N\)-t remélem beleírtad a tételbe, csak onnantól érvényes az elv c: )
  • Tehát \(n_0\) után minden \(n\) esetén \(A-\varepsilon\) és \(A+\varepsilon\) között van mind a 3 sorozatnak elemei
  • Tehát b egymagában is, tehát b ugyanoda konvergál wow

Második eset

  • Ha \(a_n\) a végtelenbe tart, és \(a_n\) minden eleme kisebb mint \(b_n\), akkor \(b_n\) mindenképpen a végtelenbe tart

Harmadik eset

  • Ha \(c_n\) a mínusz-végtelenbe tart, akkor \(b_n\) is mert \(c_n\) minden eleme nagyobb

Határérték és a rendezés kapcsolata

  • Ha \(A < B\) akkor minden \(a_n < b_n\) egy adott \(n_0\) küszöb felett
  • Ha \(a_n \leq b_n\) egy adott \(N\) küszöb felett, akkor \(A \leq B\)

Első eset

  • \(K_1\) \(A\)-középpontú környezet, \(K-2\) \(B\)-középpontú környezet, \(K_1\) és \(K_2\) diszjunkt
  • Minden \(x\) és \(y\) ami eleme ezeknek a környezeteknek: \(x < y\) mivel \(A < B\)
  • Van egy küszöbindex ahol az \(a_n\) elemei elkezdenek belekerülni a \(K_1\)-be, ez \(n_1\)
  • Van egy küszöbindex ahol az \(b_n\) elemei elkezdenek belekerülni a \(K_2\)-be, ez \(n_2\)
  • Vegyük a nagyobbat a két küszöbindex közül, és voila van egy küszöb ami fölött minden \(a_n < b_n\)

Második eset

  • Azt akarjuk igazolni hogy \(A \leq B\)
  • Indirekt módon vegyük hogy \(A > B\)
  • De mivel tudjuk hogy létezik egy olyan küszöb ami után ez nem teljesül az első állítás miatt, ezért igaz az eredeti állítás

Műveletek nullasorozatokkal

  • \(a_n + b_n\) nullasorozat
  • \(c_n \cdot a_n\) is nullasorozat ahol \(c_n\) korlátos
  • \(a_n \cdot b_n\) is nullasorozat

Le Bizonyítás - Összeadás

  • Ha \(\varepsilon > 0\) akkor van egy \(n_1\) és \(n_2\) küszöbünk, és mindkettő sorozat kisebb mint \(\frac{\varepsilon}{2}\)
  • \(n_0\) legyen a nagyobb \(n_1\) és \(n_2\) közül
  • \(|a_n+b_n|\) -re háromszögegyenlőtlenség, a teljes kifejezés kisebb mint \(\varepsilon\)
  • tehát a kettő összeg abszolútértéke kisebb mint \(\varepsilon\), szóval nullasorozat, we did it boiz

Le Bizonyítás - Szorzás korlátossal

  • \(c_n\)-re írd fel a korlátosság definícióját (felülről alulról korlátos csórikám)
  • \(a_n\)-re írd fel a nullasorozat konvergencia def.-ét úgy hogy \(\varepsilon := \frac{\varepsilon}{K}\)
  • \(|a_n \cdot c_n|\) kisebb mint a korlát összeszorozova a határértékkel
  • Összeszorzod a korlátot a határértékkel, az \(\varepsilon\), you win, \(a_n \cdot c_n\) nullasorozat

Le Bizonyítás - Szorzás nullasorozattal

  • self.Szorzás korlátossal(b_n)

Műveletek konvergens sorozatokkal - Szorzás

  • \(a_nb_n - AB\)-t kell bizonyítani hogy nullasorozat
  • adj hozzá és vonj ki \(Ab_n\)-t
  • Emeld ki a \(b_n\)-t és az \(A\)-t
  • lásd be hogy korlátos van nullasorozatokkal szorozva, so gg

Műveletek konvergens sorozatokkal - Osztás

Go fuck yourself <3

Euler szám értelmezése

  • \(a_n := (1 + \frac{1}{n})^n\) konvergenciájának bizonyítása

Monotonitás

  • Bizonyítani: \(a_n < a_{n+1}\)
  • Sorozat amit erre haználunk: \(1, 1 + \frac{1}{n}, \dots, 1 + \frac{1}{n}\)
  • \(n + 1\) tagra felírjuk a számtani mértanit
  • Jobb oldalt egyszerűsíted
  • Gyök miatt \(n+1\)-re emelsz
  • Bal oldalon előállt \(a_n\), jobb oldalon \(a_{n+1}\)

Korlátosság

  • Sorozat amit erre haználunk: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} , 1 + \frac{1}{n}, \dots, 1 + \frac{1}{n}\)
  • \(n + 2\) tagra felírjuk a számtani mértanit
  • Jobb oldalt egyszerűsíted
  • Gyök miatt \(n+2\)-re emelsz
  • Kiszorzod az \(\frac{1}{4}-et\)

  • Wow valami kisebb mint 4, sure looks korlátos to me

  • Monoton sorozat határértékére vonatkozó tétel miatt konvergens

Cauchy konvergenciakritérium

  • Ha \(a_n\) konvergens = \(a_n\) Cauchy-sorozat

Bizonyítás: Ha Cauchy akkor Konvergens

  • Feltesszük hogy \(lim(a_n) = A\), és itt \(\varepsilon := \frac{\varepsilon}{2}\)
  • Írd fel így a konvergencia definícióját
  • Vedd \(|a_n - a_m|\)-t és adj hozzá és vonj ki \(A\)-t, rendezd, háromszög egyenlőtlenség
  • Ez kisebb mint \(\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\)
  • Wow konvergens

Bizonyítás: Ha Konvergens, Cauchy

Lépések

  • Korlátosság bizonyítása
  • Német jézus
  • Részsorozat ugyanoda tart mint az eredeti

Korlátosság

  • Írd fel a Cauchy sorozat definícióját (\(n_1\) küszöbindexxel)
  • \(m = n_1+1\)
  • \(|a_n|\)-ből vonj ki és adj hozzá \(a_{n_1+1}\)-t
  • Háromszögegyenlőtlenség
  • Jobb oldal kisebb mint \(1+|a_{n_1+1}|\)
  • \(|a_n|\) kisebb mint \(a_{n_1}\)-ig az összes szám abszolút értéke és a cuccli efölöttnek a maximumánál
  • Tehát korlátos

Német jézus

  • Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata, szóval \(a_n\)-hez létezik \(a_{v_n}\) ami konvergens

Limit egyenlőség

  • Igazolni: \(lim(a_n) = lim(a_{v_n})\)
  • \(\varepsilon := \frac{\varepsilon}{2}\)
  • \(n_2\) legyen a küszöbindex a \(a_{v_n}\) sorozat konvergencia definíciójában (a határérték ugye \(A\))
  • \(n_3\) legyen a küszöbindex az \(a_n\) Cauchy-definíciójában
  • Résszorozatunk az mindenképp monoton növekedő (mert indexsorozat)
  • \(m := a_{v_n}\)
  • \(n > max\{n_2, n_3\}\)
  • \(|a_n - A|\)-hoz adj hozzá és vonj ki \(a_{v_n}\)-t, háromszög egyenlőtlenség
  • Ez kisebb mint \(\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\)
  • Itt érdemes belátni hogy a két abszolút érték a jobb oldalon az a két definíció amit felül felírtunk fent (\(n_2\) és \(n_3\)-as)
  • Wow ez a konvergencia definíciója