Tételek 2

Cauchy-féle konvergenciakritérium sorokra

CAUCHYKRIT - Tétel

A \(\sum a_n\) sor akkor és csak akkor konvergens, ha

\[ \forall \varepsilon > 0\text{-hoz } \exist n_0 \in \N, \forall m > n > n_0: \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\dots+a_m\right|<\varepsilon \]

CAUCHYKRIT - Bizonyítás

\[ \sum a_n\text{ konvergens} \iff (s_n) \text{ konvergens} \iff (s_n) \text{ Cauchy-sorozat} \]

, tehát

\[ \forall \varepsilon > 0:\exist n_0 \in \N: \forall n, m > n_0: \left|s_m-s_n\right| < \varepsilon \]

teljesül. Állításunk abból következik, hogy \(m>n\), akkor

\[ s_m-s_n=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+\dots+a_m \]

Összehasonlító kritériumok

ÖSSZEHASONLÍT - Tétel

\(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) nemnegatív tagú sorok. Tegyük fel, hogy \(\exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: 0 \leq a_n \leq b_n\)

Ekkor

Majoráns tétel: ha \(\sum b_n\) konvergens, akkor \(\sum a_n\) is konvergens
Minoráns tétel: ha \(\sum a_n\) divergens, akkor \(\sum b_n\) is divergens

ÖSSZEHASONLÍT - Bizonyítás

Mivel véges sok tag megváltoztatásával (pl. első \(n\) elem elhagyásával) a konvergencia nem változik, ezért mondhatjuk, hogy \(a_n \leq b_n\).

Legyen \((s_n)\) a \(\sum a_n\) sor részletösszegeiből álló sorozat, \((t_n)\) pedig a \(\sum b_n\) sor részletösszegeiből álló sorozat.

A feltevésünk miatt \(\forall n \in \N: s_n \leq t_n\). Ekkor a nem negatív tagú sorok konvergenciájáról szóló tétel szerint:

ha a \(\sum b_n\) sor konvergens, akkor \((t_n)\) korlátos, így \((s_n)\) is konvergens. Tehát \(\sum a_n\) sor is konvergens.
ha \(\sum a_n\) sor divergens, akkor \((s_n)\) nem korlátos, tehát \((t_n)\) sem az. Ezért a \(\sum b_n\) sor is divergens.

A Cauchy-féle gyökkritérium

CAUCHYGYÖK - Tétel

Tekintsük a \(\sum a_n\) sort. Tegyük fel, hogy létezik:

\[ A = \lim_{n \to \infin}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} \in \overline\R \]

Ekkor:

\(0 \leq A < 1\) esetén a \(\sum a_n\) sor abszolút konvergens.
\(A > 1\), akkor a \(\sum a_n\) sor divergens
\(A=1\), akkor a \(\sum a_n\) sor lehet konvergens és divergens is

CAUCHYGYÖK - Bizonyítás

\(\sqrt[n]{\left|a_n\right|} \Rightarrow A \geq 0\)

CAUCHYGYÖK - Ha \(0 \leq A < 1\)

Vegyünk egy \(A\) és \(1\) közötti \(q\) számot!

\(\lim(\sqrt[n]{\left|a_n\right|}) < q \Rightarrow \exists n_0 \in \N: \forall n > n_0: \sqrt[n]{\left|a_n\right|} < q\), azaz \(\left|a_n\right|<q^n\)

\(\sum q^n\) mértani sor, és \(0 < \left|q\right| < 1\), ezért konvergens.

Ezt a kettőt, és a majoráns kritériumot (egy indextől kezdve \(|a_n| < q^n\) ) felhasználva \(\sum\left|a_n\right|\) is konvergens, tehát \(\sum a_n\) abszolút konvergens.

CAUCHYGYÖK - Ha \(A > 1\)

Vegyünk egy \(1\) és \(A\) közötti \(q\) számot.

\(\lim(\sqrt[n]{|a_n|}) > q \Rightarrow \exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: \sqrt[n]{|a_n|} > q\), azaz \(|a_n|>q^n\)

Mivel \(|a_n| > q^n > 1 \Rightarrow |a_n| > 1\).

Ebből következik, hogy \(\lim(a_n) \ne 0\), tehát a \(\sum a_n\) sor divergens.

CAUCHYGYÖK - Ha \(A = 1\)

Két példával mutatjuk be:

\(\sum \frac1n\) divergens sor, akkor \(|a_n| = \frac1n\), és \(\lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\frac1{\sqrt[n]{n}})=1\)

\(\sum \frac1{n^2}\) konvergens sor, akkor \(|a_n| = \frac1{n^2}\), és \(\lim (\sqrt[n]{|a_n|}) = \lim (\frac1{\sqrt[n]{n^2}})=1\)

A d'Alembert-féle hányadoskritérium

DALEMBERT - Tétel

Tegyük fel, hogy egy \(\sum a_n\) sor egyik tagja sem 0, és létezik

\[ A := \lim_{n\to\infin}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \in \overline\R \]

Akkor:

Ha \(0 \leq A < 1\), akkor a sor abszolút-konvergens
Ha \(1 < A\), akkor a sor divergens
Ha \(A=1\), akkor a sor lehet konvergens és divergens is

DALEMBERT - Bizonyítás

DALEMBERT - Bizonyítás - \(0 \leq A < 1\)

Vegyünk egy \(q\) számot, hogy \(A < q < 1\).

Ekkor:

\[ \lim_{n\to\infin}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < q \Rightarrow\exists n_0 \in \N: \forall n > n_0: \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<q \]

Azaz

\[ \exists n_0 \in \N: \forall n > n_0: |a_{n+1}|<q|a_n| \]

Tehát

\[ |a_{n_0+1}|<q|a_{n_0}|, |a_{n_0+2}|<q|a_{n_0+1}|, \dots|a_{n-1}|<q|a_{n-2}|,|a_{n}|<q|a_{n-1}| \]

A \(q^n\) sorozat szigorú monotonitása miatt:

\[ |a_n|<q|a_{n-1}|<q^2|a_{n-2}|<\dots<q^{n-n_0-1}|a_{n_0+1}|<q^{n-n_0}|a_{n_0}| = q^{-n_0}|a_{n_0}|q^n \]

Legyen \(a:=q^{-n_0}|a_{n_0}|\), konstans

Ekkor \(|a_n|<aq^n\). Mivel \(\sum aq^n\) konvergens (\(-1 < q < 1\)), ezért a majoráns kritérium szerint \(\sum |a_n|\) is konvergens, tehát \(a_n\) abszolút konvergens

DALEMBERT - Bizonyítás - \(1 < A\)

Vegyünk fel egy \(q\)-t, hogy \(1<q<A\).

\[ \lim_{n\to\infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>q \Rightarrow \exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>q \]

Tehát:

\[ \exist n_0 \in \N: \forall n > n_0: |a_{n+1}| > q|a_n| > |a_n| \]

Ebből következik, hogy \(\lim_{n\to\infin} a_n \ne 0\), tehát \(\sum a_n\) divergens.

Leibniz sorok konvergenciája

LEIBNIZ - Tétel

A \(\sum_{n=1} (-1)^{n+1}a_n\) Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(a_n\) nullasorozat.

LEIBNIZ - Bizonyítás

LEIBNIZ - Bizonyítás - \(\Rightarrow\)

A \(\sum_{n=1} (-1)^{n+1}a_n\) sor csak akkor lehet konvergens, ha \(\lim_{n\to\infin}(-1)^{n+1}a_n=0\), ami csak akkor lehetséges, ha \(\lim_{n\to\infin}a_n=0\), tehát \(a_n\) nullasorozat.

LEIBNIZ - Bizonyítás - \(\Leftarrow\)

Legyen \(s_n:=\sum_{n=1} (-1)^{n+1}a_n=a_1-a_{2}+a_3-a_4+\dots+(-1)^{n+1}a_n\)

Feltételezhetjük, hogy a páros indexű részsorozatok mon. növ, a páratlan indexűek mon.csök.

Páros indexű részsorozatok:

\[ s_{2n}:=\underbrace{(a_1-a_2)}_{\geq0}+\underbrace{(a_3-a_4)}_{\geq0}+\dots \]

Páratlan indexű részsorozatok:

\[ s_{2n+1}=a_1+\underbrace{(-a_2+a_3)}_{\leq0}+\underbrace{(-a_4+a_5)}_{\leq0}+\dots \]

Ezen felül észrevesszük, hogy

\[\begin{align*} s_{2n+1}-s_{2n}&\geq0 \\ s_{2n+1}-s_{2n}=a_{2n+1}&\geq0 \\ s_{2n+1}&\geq s_{2n} \\ \end{align*}\]

Ezeket felhasználva:

\[ s_2 \leq s_4 \leq s_6 \dots \leq s_{2n} \leq s_{2n+1} \leq \dots \leq s_5 \leq s_3 \leq s_1 \]

Tehát \(s_{2n}\) és \(s_{2n+1}\) korlátos sorozatok, ÉS monotonok is, tehát konvergensek.

Legyen \(B:=\lim_{n\to\infin}s_{2n}\), \(A:=\lim_{n\to\infin}s_{2n+1}\)

\[ A-B=\lim_{n\to\infin}s_{2n+1}-\lim_{n\to\infin}s_{2n}=\lim_{n\to\infin}s_{2n+1}-s_{2n}=\lim_{n\to\infin}a_{2n+1}=\lim_{n\to\infin}a_{n}=0 \]

Tehát \(A=B\), tehát a két részsorozat határértéke megegyezik. Ebből következik, hogy az \((s_n)\) sorozat is konvergens, tehát a Leibniz-sor is konvergens.

Számok felírása p-edikus alakban

PADIK - Tétel

Legyen \(2 \leq p \in \N\). Ekkor \(\forall \alpha\in[0,1] \; \exists (a_n): \N^+\to\{0,1,2,\dots,p-1\}:\alpha=\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{a_n}{p^n}\)

PADIK - Bizonyítás

Rögzítsük \(\alpha \in [0,1]\)-et.

Osszuk fel a \([0,1]\) intervallumot \(p\) egyenlő részre. Ekkor

\[ \exists a_1\in\{0,1,2,\dots,p-1\}:\alpha\in[\frac{a_1}{p},\frac{a_1}{p}+\frac1p] \]

A következő lépésben ezt az intervallumot osszuk fel \(p\) részre. Ekkor

\[ \exists a_2\in\{0,1,2,\dots,p-1\}:\alpha\in[\frac{a_1}p+\frac{a_2}{p^2},\frac{a_1}p+\frac{a_2}{p^2}+\frac1{p^2}] \]

Ha ezt folytatjuk \(n\) lépésben, akkor:

\[ s_n=\frac{a_1}{p}+\frac{a_2}{p^2}+\dots+\frac{a_n}{p^n}\leq\alpha\leq\frac{a_1}{p}+\frac{a_2}{p^2}+\dots+\frac{a_n}{p^n}+\frac1{p^n}=s_n+\frac1{p^n} \]

\[ s_n-\frac1{p^n}\leq s_n\leq\alpha\leq s_n+\frac1{p^n} \Rightarrow -\frac1{p^n}\leq\alpha-s_n\leq\frac1{p^n}\Rightarrow|\alpha-s_n|\leq\frac1{p^n} \]

Mivel \(\lim_{n\to\infin}\frac1{p^n}=0\), ezért \(\alpha=\lim_{n\to\infin}s_n=\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{a_n}{p^n}\)

Konvergens sor zárójelezése

KONVZÁR - Tétel

Egy konvergens sor zárójelezése is konvergens sor, és összege az eredeti sor összegével egyenlő.

KONVZÁR - Bizonyítás

Legyen \(\sum_{n=1} \alpha_n\) a \(\sum_{n=1} a_n\) sor \((m_n): \N\to\N\) által meghatározott zárójelezése.

Legyen a \((\sigma_n)\) a \(\sum_{n=1} \alpha_n\) sor részösszegeiből álló sorozat, és \((s_n)\) a \(\sum_{n=1} a_n\) sor részösszegeiből álló sorozat.

Mivel \(\forall n \in \N^+: \sigma_n=s_{m_n}\) (az első \(n\) zárójel összege megegyezik az eredeti sor első \(m_n\) elemének összegével), ezért \((\sigma_n)\) részsorozata az \((s_n)\) sorozatnak. Tehát \((\sigma_n)\) sor konvergens és határértéke megegyezik a \((s_n)\) sorozat határértékével. Ez azt jelenti, hogy a \(\sum_{n=1} \alpha_n\) sor is konvergens és

\[ \sum_{n=1}^{+\infin} \alpha_n=\lim_{n\to\infin}\sigma_n=\lim_{n\to\infin}s_n=\sum_{n=1}^{+\infin} a_n \]

Abszulút konvergens sorok permutációja

ABSZPERM - Tétel

Ha a \(\sum a_n\) sor abszolút konvergens, akkor tetszőleges \((p_n):\N\to\N\) permutációval képzett \(\sum a_{p_n}\) átrendezése is abszolút konvergens és

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}a_n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_{p_n} \]

ABSZPERM - Bizonyítás

Legyen \(s_n := \sum_{k=0}^na_k\) és \(\sigma_n := \sum_{k=0}^na_{p_k}\)

Igazoljuk, hogy \((\sigma_n)\) konvergens.

\[ \sum_{k=0}^n|a_{p_k}|=|a_{p_0}|+|a_{p_1}|+\dots+|a_{p_n}|\leq\sum_{k=0}^{\overbrace{+\infin}^{!!!}}|a_k|=K<+\infin \]

Tehát \(\sum_{k=0}^n |a_{p_k}|\) korlátos, és egyértelműen monoton növekvő. Ebből következik, hogy \(\sum_{n=0}|a_{p_n}|\) konvergens tehát \(\sum_{n=0}a_{p_n}\) abszolút konvergens.

Igazoljuk, hogy \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_{p_n}\)

Legyen \(A := \sum_{n=0}^{+\infin}a_n\) és \(B:=\sum_{n=0}^{+\infin}a_{p_n}\)

\(\sum|a_n|\) konvergens. A Cauchy kritérium szerint

\[ \forall \varepsilon > 0: \exist n_0 \in \N: \forall m > n \geq n_0: |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+|a_{n+3}|+\dots+|a_{m}|<\varepsilon \]

Legyen \(n=n_0\) és \(m>n_0\). Ekkor \(\sum_{k=n_0+1}^m|a_k|<\varepsilon\).

Legyen \(N_0\) olyan index, amire az \(a_{p_0}+a_{p_1}+a_{p_2}+\dots+a_{p_{N_0}}\) összeg már tartalmazza az \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n_0}\) tagokat. Egyértelműen \(N_0 \geq n_0\). Legyen \(n > N_0\)

Ekkor \(\sigma_n-s_n\) már nem tartalmazza a \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n_0}\) tagokat (ki lettek vonva), csak az \(n_0\)-nál nagyobb indexű tagok egy részét. Vegyük a legnagyobb indexet: \(m:=max\left\{p_0, p_1, p_2, \dots, p_n\right\}\). Ekkor, amiért \(\sigma_n-s_n\) már csak \(n_0\)-nál nagyobb idexű, és \(m\)-nél kisebb indexű elemeket tartalmaz:

\[ |\sigma_n-s_n|\leq\sum_{k=n_0+1}^m|a_k|<\varepsilon\quad\text{TODO: Mi lett a kivont tagokkal?} \]

Ez azt jelenti, hogy \((\sigma_n-s_n)\) nullasorozat.

\[ \sigma_n=(\sigma_n-s_n)+s_n\underset{n\to\infin}\longrightarrow0+A=A \]

azaz

\[ B=\sum_{n=0}^{+\infin}a_{p_n}=\lim_{n\to\infin}\sigma_n=A \]

Téglányszorzat konvergenciája

TÉGLÁNY - Tétel

Legyen \(\sum_{n=0} a_n\) és \(\sum_{n=0} b_n\) végtelen sorok konvergensek. Ekkor \(\sum_{n=0} t_n\) téglányszorzatuk konvergens, és

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}t_n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\cdot\sum_{n=0}^{+\infin}b_n \]

TÉGLÁNY - Bizonyítás

Legyen \(A_n\), \(B_n\) és \(T_n\) a \(\sum_{n=0}a_n\), \(\sum_{n=0}b_n\) és \(\sum_{n=0}t_n\) sorok n-edig részletösszege.

\[ T_n = \sum_{k=0}^n t_k=\sum_{k=0}^n\left(\sum_{max\{i,j\}=k}a_ib_j\right)=\sum_{max\{i,j\}\leq n}a_ib_j=\left(\sum_{i=0}^na_i\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^nb_j\right) = A_nB_n \to \left(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{+\infin}b_n\right) \]

Tehát

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}t_n=\lim(T_n)=\left(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{+\infin}b_n\right) \]

Abszolút konvergens sorok szorzatai

ABSZSZOR - Tétel

Legyenek \(\sum_{n=0}a_n\) és \(\sum_{n=0}b_n\) abszolút konvergens végtelen sorok. Ekkor

Téglányszorzatuk is abszolút konvergens
Cauchy-szorzatuk is abszolút konvergens
Az összes \(a_ib_j\) szorzatból tetszés szerinti sorrendben és csoportosításban képzett \(\sum_{n=0}d_n\) végtelen sor is abszolút konvergens.

ÉS! Ez a három sor határértéke megegyezik.

ABSZSZOR - Bizonyítás

Elég csak a harmadik állítást igazolni.

Legyen

\[ A_N := \sum_{n=0}^N|a_n|\longrightarrow A\in\R \quad B_N := \sum_{n=0}^N|b_n|\longrightarrow B\in\R \]

Vegyünk egy tetszőleges \(\sum d_n\) sort, ahol \(d_n=a_ib_j\). Legyen \(N \in \N\) tetszőleges. Jelölje \(I\) és \(J\) a maximális \(i\) és \(j\) indexet a \(d_0,d_i,\dots,d_N\) összegben.

\[ \sum_{n=0}^N|d_n|\leq \sum_{\substack{0\leq i\leq I \\ 0 \leq j \leq J}}|a_ib_j|=(\sum_{n=0}^I|a_n|)\cdot(\sum_{n=0}^J|b_n|)\leq A\cdot B \]

tehát \(\sum_{n=0}|d_n|\) korlátos, és nemnegatív tagú, tehát konvergens.

Ez érvényes akkor is, ha \(d_n=t_n\) (téglányszorzat). Ekkor, a téglányszorzat konvergenciájáról szóló tétel szerint

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}t_n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\cdot\sum_{n=0}^{+\infin}b_n \]

Legyen \(\sum t^*_n\) az a sor, amelyet a \(\sum t_n\)-ben lévő zárójelek elhagyásával kapunk. Mivel ez is egy lehetséges \(\sum d_n\) típusu sor, ezért abszolút konvergens, tehát bármilyen zárójelezésével az összeg nem változik.é Ebből következik, hogy

\[ \sum_{n=0}^{+\infin}t^**n=\sum*{n=0}^{+\infin}t_n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\cdot\sum_{n=0}^{+\infin}b_n \]

Azonban bármilyen \(\sum d_n\) típusu sor megkapható a \(\sum t^*_n\) sor megfelelő átrendezésével és csoportosításával, anélkül, hogy a sor összege változna. Ezek szerint az állításunk igaz.

Hatványsor konvergenciasugara

KONVSUG - Tétel

tetszőleges \(\sum_{n=0}\alpha_n(x-a)^n\) hatványsor konvergenciahalmazára a következő három eset egyike áll fenn:

\(\exists0<R<+\infin\), hogy a hatványsor \(\forall x \in \R: |x-a|<R\) pontban abszolút konvergens és \(\forall x \in \R: |x-a|>R\) pontban divergens.
A hatványsor csak az \(a\) pontban konvergens. Ekkor \(R := 0\)
A hatványsor abszolút konvergens bármilyen \(x \in \R\) esetén. Ekkor \(R := +\infin\)

\(R\) - konvergenciasugár

KONVSUG - Segédtétel

Tfh. \(\sum \alpha_n x^n\) konvergens egy \(x_0 \neq 0\) pontban. Ekkor minden \(x\) (\(|x|<|x_0|\)) pontban abszolút konvergens a hatványsor.

KONVSUG - Segédtétel bizonyítása

Mivel a hatványsor konvergens \(x_0\) pontban, ezért \(\sum \alpha_n x^n_0\) végtelen sor konvergens, tehát \(\lim_{n\to+\infin}\alpha_n x^n_0=0\), tehát \((\alpha_nx_0^n)\) korlátos.

\[ \exist M > 0: |\alpha_nx_0^n|\leq M < +\infin \]

Ekkor, ha veszünk egy x-et, hogy \(|x|<|x_0|\), akkor

\[ |\alpha_nx^n|=|\alpha_nx_0^n|\cdot\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\leq M\cdot\left|\frac{x}{x_0}\right|=Mq^n \]

, ha \(q:=\left|\dfrac{x}{x_0}\right|\).

A \(\sum Mq^n\) sor konvergens, mert \(\left|\frac{x}{x_0}\right|<1\). Így a majoráns kritérium szerint a \(\sum|\alpha_nx^n|\) sor is konvergens, tehát \(\sum\alpha_nx^n\) abszolút konvergens.

KONVSUG - Bizonyítás

Elég \(a=0\) esetén igazolni a tételt.

Vegyük a \(\sum \alpha_nx^n\) hatványsort. Ez \(x=0\)-ban konvergens, ezért \(KH(\sum\alpha_nx^n)\neq\varnothing\), tehát

\[ \exist R := \sup \mathrm{KH}(\sum\alpha_nx^n) \quad \text{és} \quad R \geq 0 \]

Három eset lehetséges

\(0 < R < +\infin\). Legyen \(|x|<R\) tetszőleges. Ekkor a szuprémum miatt \(\exists x_0>0:|x|<x_0<R\) ÉS \(x_0 \in \mathrm{KH}\), azaz \(\sum \alpha_nx^n_0\) konvergens. A segédtétel szerint tehát \(\sum \alpha_nx^n\) abszolút konvergens. Ha \(|x|>R\), akkor az \(R\) szám definíciója, és a segédtétel szerint a \(\sum \alpha_nx^n\) végtelen sor divergens.
\(R=0\). A sor az \(x=0\) pontban triviálisan konvergens. Tegyük fel, hogy az \(x \neq 0\) pontban is konvergens. Ekkor a segédtétel szerint a \(\frac{|x|}{2}>0\) pontban is konvergensnek kell lennie. Viszont ebben az esetben a szuprémum nem lehet 0, tehát a hatványsor csak az \(x=0\) pontban lehet konvergens.
\(R = +\infin\). Legyen \(x \in \R\) tetszőleges. Ekkor a szuprémum definíciója szerint \(\exists n_0 >0: |x|<x_0\) és \(x_0\) a KH eleme, azaz \(\sum\alpha_nx_0^n\) konvergens. Ekkor a segédtétel szerint \(\sum\alpha_nx^n\) abszolút konvergens.