(107-123) Függvények
107. Mit jelent az, hogy \(a \in \overline{\mathbb{R}}\) torlódási pontja a \(H \subset \mathbb{R}\) halmaznak?
Az adott \(\emptyset \ne H \in \R\) halmaz. \(a\in\overline\R\) akkor lehet torlódási pontja, ha az \(a\in\overline\R\) minden környezete végtelen sok H-beli elemet tartalmaz, azaz
\[ \forall\varepsilon>0\quad\text{esetén}\quad K_\varepsilon(a)\cap H\quad\text{végtelen halmaz} \]Alternatív jelölés: \(H'\)
108. Mit jelent az, hogy \(a \in H\) izolált pontja a \(H \subset \mathbb{R}\) halmaznak?
\(a\not\in H'\)
109. Hogyan értelmezi egy \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) függvénynek egy \(a \in \mathcal{D'}_f\) helyen vett határértékét?
Az adott \(f\in\R\rightarrow\R\) függvénynek az \(a\in\mathcal{D'}_f\) pontban van határértéke, ha
\[ \exists A \in\overline\R,\;\forall\epsilon>0\,:\;\exists\delta>0,\;\forall x\in\Big(K_\delta(a)\;\backslash\;\{a\}\Big)\cap\mathcal{D}_f:\;f(x)\in K_\varepsilon(A) \]Ekkor \(A\) \(f\)-nek az \(a\) pont beli határértéke. Jelölések:
\[ \underset{a}{\lim}f = A\quad\underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A\quad f(x)\rightarrow A,\;\text{ha}~~x\rightarrow a \]
110. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a\in\R\;\text{és}\; A\in\R \]
\[ \underset{x\rightarrow a\in\R}{\lim}f(x)\in\R \]
111. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a\in\R\;\text{és}\; A=+\infin \]
\[ \underset{x\rightarrow a\in\R}{\lim}f(x)=+\infin \]
112. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a\in\R\;\text{és}\; A=-\infin \]
\[ \underset{x\rightarrow a\in\R}{\lim}f(x)=-\infin \]
113. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a=+\infin\;\text{és}\; A\in\R \]
\[ \underset{x\rightarrow +\infin}{\lim}f(x)\in\R \]
114. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a=-\infin\;\text{és}\; A\in\R \]
\[ \underset{x\rightarrow -\infin}{\lim}f(x)\in\R \]
115. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a=+\infin\;\text{és}\; A=+\infin \]
\[ \underset{x\rightarrow +\infin}{\lim}f(x)=+\infin \]
116. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a=+\infin\;\text{és}\; A=-\infin \]
\[ \underset{x\rightarrow +\infin}{\lim}f(x)=-\infin \]
117. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték denícióját
\[ \underset{x\rightarrow a}{\lim}f(x)=A,\;\text{ha}\; a=-\infin\;\text{és}\; A=-\infin \]
\[ \underset{x\rightarrow -\infin}{\lim}f(x)=-\infin \]
118. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet
Legyen \(f\in\R\rightarrow\R,\;a\in\mathcal{D'}_f\) és \(A\in\overline\R\). Ekkor
\[ \underset{a}{\lim}f=A\quad\Longleftrightarrow\quad\forall(x_n):\N\rightarrow\mathcal{D}_f\;\backslash\;{a}, \]\[ \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}x_n=a~~~\text{esetén}~~~\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}x_n=A \]
119. Hogyan szól a függvények szorzatának a határértékére vonatkozó tétel?
TFH. \(f,g\in\R\rightarrow\R, a\in\Big(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g\Big)'\) és léteznek az \(A:=\underset{a}{\lim}\,f\in\overline\R\) és \(B:=\underset{a}{\lim}\,g\in\overline\R\) határértékek. Ekkor
\[ \underset{a}{\lim}(f\cdot g) = \underset{a}{\lim}\,f\cdot\,\underset{a}{\lim}\,g=A\cdot B \]feltéve, hogy az \(A\cdot B \in \overline\R\) szorzat értelmezve van.
120. Hogyan szól a függvények hányadosának a határértékére vonatkozó tétel?
TFH. \(f,g\in\R\rightarrow\R, a\in\Big(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g\Big)'\) és léteznek az \(A:=\underset{a}{\lim}\,f\in\overline\R\) és \(B:=\underset{a}{\lim}\,g\in\overline\R\) határértékek. Ekkor
\[ \underset{a}{\lim}\frac{f}{g} =\frac{\underset{a}{\lim}\,f}{\underset{a}{\lim}\,g}=\frac{A}{B} \]feltéve, hogy az \(\frac{A}{B} \in \overline\R\) hányados értelmezve van.
121. Deniálja függvény jobb oldali határértékét
Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\). TFH. \(a\in\R\) és \(a\in\Big(\mathcal{D}_f\cap(a,+\infin)\Big)'\)
\[ \exists A\in\overline\R,\;\forall\varepsilon>0\,:\;\exists\delta>0,\;\forall x\in\mathcal{D}_f,\;a<x<a+\delta:f(x)\in K_\varepsilon(A) \]Jelölések:
\[ \underset{a+0}{\lim}\,f=A\quad\underset{x \searrow a}{\lim}\,f=A\quad\underset{x\rightarrow a+0}{\lim}\,f=A\quad f(a+0)=A \]
122. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékéről?
TFH. \(\sum\alpha(x-a)^n\) hatványsor \(R\) konvergenciasugara pozitív. összegfüggvénye:
\[ f(x):=\underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}\alpha(x-a)^n\quad\Big(x\in K_R(a)\Big) \]Ekkor \(\forall b\in K_R(a)\) pontban létezik a \(\underset{x\rightarrow b}{\lim}\,f(x)\) határérték, és
\[ \underset{x\rightarrow b}{\lim}\,f(x) = f(b)= \underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}\alpha(b-a)^n \]
123. Mit tud mondani monoton növekvő függvények határértékéről?
Legyen \((\alpha,\beta)\subset\R\) tetszőleges nyílt intervallum.
Az adott monoton \(f\) függvénynek \(\forall\alpha\in(\alpha,\beta)\) pontban létezik jobb és baloldali határértéke, amik végesek, és:
\[ \underset{a+0}{\lim}\,f = \inf\Big\{f(x)\;\big|\;x\in(\alpha,\beta),\;x>a\Big\} $$ $$ \underset{a-0}{\lim}\,f = \sup\Big\{f(x)\;\big|\;x\in(\alpha,\beta),\;x<a\Big\} \]