(124-146) Függvények folytonossága
124. Deniálja egy \(f \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) függvény pontbeli folytonosságát
Az \(f\in\R\rightarrow\R\) függvény folytonos az \(a\in\mathcal{D}_f\) pontban, ha:
\[ \forall\varepsilon>0\,:\;\exists\delta>0,\;\forall x\in\mathcal{D}_f,\;|x-a|<\delta\,:\;\Big|f(x)-f(a)\Big| < \varepsilon \]Jelölés: \(f\in C\{a\}\)
125. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között?
\[ f\in C\{a\}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\underset{a}{\lim}\,f~~~\text{és}~~~\underset{a}{\lim}\,f=f(a) \]
126. Írja le a folytonosságra vonatkozó átviteli elvet
TFH. \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(a\in\mathcal{D}_f\).Ekkor:
\[ f\in C\{a\}\quad\Longleftrightarrow\quad\forall(x_n)\,:\;\N\rightarrow\mathcal{D}_f $$ $$ \;\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\,x_n=a~~~\text{esetén}~~~\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\,f(x_n)=f(a) \]
127. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról?
Minden hatványsor összegfüggvénye folytonos a hatványsor teljes konvergenciahalmazán.
128. Milyen tételt ismer a folytonos függvények előjeltartásáról?
TFH. az \(f\in\R\rightarrow\R\) függvény folytonos az \(a\in\mathcal{D}_f\) pontban és \(f(a)>0\). Ekkor:
\[ \exists K(a),\;\forall x\in\mathcal{D}_f\,\cap\,K(a)\,:\;f(x)>0 \]
\(f(a)\) előjelét egy alkalmas \(K(a)\) környezetben felvett függvényértékek is öröklik.
129. Mondja ki az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételt?
\(f,g\in\R\rightarrow\R,\;g\in C\{a\}\,:\;f\in C\{g(a)\}\,:\;f\circ g \in C\{a\}\)
Az összetett függvény "örökli" a belső- és a külső függvény folytonosságát
130. Deniálja a megszüntethető szakadási hely fogalmát
Az \(a\in\mathcal{D}_f\) pont az \(f\) függvény megszüntethető szakadási helye, ha:
\[ \exists\underset{a}{\lim}\,f\quad\text{véges határérték, de}\quad\underset{a}{\lim}\,f\ne f(a) \]
131. Deniálja az elsőfajú szakadási hely fogalmát
Az \(a\in\mathcal{D}_f\) pont az \(f\) függvény ugrási helye (elsőfajú szakadása), ha:
\[ \exists\underset{a+0}{\lim}~~~\text{és}~~~\exists\underset{a-0}{\lim}\,f\quad\text{véges határértékek, de}\quad\underset{a+0}{\lim}\,f\ne \underset{a-0}{\lim}\,f \]
132. Mit tud mondani korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről?
Ha \(f\in C[a,b]\), akkor \(f\) korlátos az \([a,b]\) intervallumon.
133. Hogyan szól a Weierstrass-tétel?
Egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek mindig van abszolút maximum- és abszolút minimumhelye, azaz:
\[ f\in C[a,b]\quad\Longrightarrow\quad\exists\alpha,\beta\in[a,b],\;\forall x \in[a,b]\,:\;f(\beta)\le f(x)\le f(\alpha) \]
134. Mit mond ki a Bolzano-tétel?
Ha egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény az intervallum két végpontjában különböző előjelű értékeket vesz fel, akkor a függvénynek van zérushelye, azaz:
\[ f\in C [a,b]~~~\text{és}~~~f(a)\;\cdot\;f(b)<0\quad\Longrightarrow\quad\exists\xi\in(a,b):\;f(\xi)=0 \]
135. Mit jelent az, hogy egy függvény Darboux-tulajdonságú?
Legyen \(I\subset\R\) tetszőleges intervallum.
Az \(f\,:\;I\rightarrow\R\) ha minden \(a,b\in I,\;a<b,\;f(a)\ne f(b)\) esetén az összes \(f(a)\) és \(f(b)\) közötti értéket felvesz \((a,b)\)-ben, akkor Darboux-tulajdonságú.
136. Hogy szól az inverz függvény folytonosságára vonatkozó tétel?
Minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos és invertálható függvény esetében az invert függvény folytonos.
\[ f:\;[a,b]\rightarrow\R,\;f\in[a,b],\;\exists\,f^{-1}\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}\in C(\mathcal{R}_f) \]
137. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konvex egy \(I\) intervallumon?
Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(I\subset\mathcal{D}_f\) egy intervallum. Akkor konvex, ha \(\forall a,b\in I,\;a<b\) esetén igaz, hogy:
\[ f(x)\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\Big(x\in(a,b)\Big) \]
\(f\in\R\rightarrow\R\) függvény akkor és csak akkor konvex, ha az \(I\subset\R\) intervallumon \(\forall a,b\in I,\;a<b\) és \(\forall\lambda\in(0,1)\) esetén
\[ f\Big(\lambda a+(1-\lambda)b)\le\lambda bf(a)+(a-\lambda)f(b) \]
138. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény konkáv egy \(I\) intervallumon?
Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(I\subset\mathcal{D}_f\) egy intervallum. Akkor konkáv, ha \(\forall a,b\in I,\;a<b\) esetén igaz, hogy:
\[ f(x)\ge\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\Big(x\in(a,b)\Big) \]
\(f\in\R\rightarrow\R\) függvény akkor és csak akkor konkáv, ha az \(I\subset\R\) intervallumon \(\forall a,b\in I,\;a<b\) és \(\forall\lambda\in(0,1)\) esetén
\[ f\Big(\lambda a+(1-\lambda)b)\ge\lambda bf(a)+(a-\lambda)f(b) \]
139. Mondjon példát olyan konvex függvényre, amely nem szigorúan konvex
\[ f(x)=1 \]konstansfüggvény
\[ f(x)=x \]identitásfüggvény
140. Hogy szól az inverz függvény konvexitásáról szóló tétel?
Legyen \(f:\;I\rightarrow\R\) szigorúan monoton növekvő konvex/konkáv függvény az \(I\) intervallumon, és TFH. \(J:=\mathcal{R}_f\) szintén intervallum.
Ekkor az \(f\) fügvény inverze konkáv/konvex a \(J\) intervallumon
141. Értelmezze az ln függvényt
\[ \ln:=\log:=\exp^{-1} \]Természetes, vagy \(e\) alapú logaritmusfüggvény
142. Mi a deníciója az \(a^x\;(a, x \in \mathbb{R}, a > 0)\) hatványnak?
\[ a^x:=e^{x \cdot\ln a} \]
143. Értelmezze az \(\log_a\) függvényt
\[ \log_a:=(\exp_a)^{-1},\quad \text{ha}~~a>0~~\text{és}~~a\ne 1 \]
144. Mi a deníciója az \(x^\alpha\;(x > 0, \alpha \in \mathbb{R})\) hatványfüggvénynek?
\[ h_\alpha:\;(a,+\infin)\ni x\mapsto x^\alpha:=e^{\alpha\ln x} \]
145. Hogyan értelmezzük a \(\pi\) számot?
A \(\cos\) függvénynek a \([0,2]\) intarvallumonfelvett zérushelyének kétszerese
\[ \exists!\xi\in[0,2]\,:\;\cos\xi = 0 \]\[ \pi:=2\xi \]
146. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény periodikus? Adjon példát periodikus függvényre
\[ f(x):=g(x+a)\quad(x\in\mathcal{D}_g) \]Példa:
\[ \sin(x+2\pi)=\sin x\quad\cos(x+2\pi)=\cos x \quad(x\in\R) \]