(1-6) Függvények alapjai
Tartalom
- Hogyan értelmezi a függvényt?
- Mit jelent az \(f \in A \rightarrow B\) szimbólum?
- Mit jelent az \(f : A \rightarrow B\) szimbólum?
- Mikor nevez egy függvényt invertálhatónak (vagy injektívnek)?
- Deniálja az inverz függvényt!
- Mit mond ki a Dedekind-axióma vagy szétválasztási axióma?
1. Hogyan értelmezi a függvényt?
Tétel
Adott \(A,B\) nemüres halmazok esetén $$ \emptyset \ne f \subset A \times B $$
reláció függvény, ha:
\[
\forall x \in \mathcal{D}_f\quad\text{esetén}\quad \exists! y \in \mathcal{R}_f: (x,y)\in f
\]
Ahol \(y\) az \(f\) függvény \(x\) helyen felvett helyettesítési értéke \(\bigl(f(x)\text{-el jelölve} \bigr)\), vagy az \(f\) fügvény \(x\)-hez az \(f(x)\) függvényértéket rendeli.
2. Mit jelent az \(f \in A \rightarrow B\) szimbólum?
\(\mathcal{D}_f \subset A\)
3. Mit jelent az \(f : A \rightarrow B\) szimbólum?
\(\mathcal{D}_f = A\)
4. Mikor nevez egy függvényt invertálhatónak (vagy injektívnek)?
\[
\forall x,t \in \mathcal{D}_f,\qquad x \ne t\quad \Longrightarrow \quad f(x) \ne f(t)
\]
\[
\lor
\]
\[
\forall x,t \in \mathcal{D}_f,\qquad f(x) = f(t)\quad \Longrightarrow \quad x = t
\]
\[
\lor
\]
\[
\forall y \in \mathcal{R}_f\;:\;\exist!x\in\mathcal{D}_f\;:\;f(x) = y
\]
5. Deniálja az inverz függvényt
Tétel
Feltesszük, hogy f invertáltahó, azaz $$ \forall y \in \mathcal{R}_f\;:\;\exist!x\in\mathcal{D}_f\;:\;f(x) = y $$
Ekkor \(f\) inverz függvénye:
\[
f^{-1} \,:\,\mathcal{R}_f \ni y \mapsto x \;|\; f(x) = y
\]
6. Mit mond ki a Dedekind-axióma vagy szétválasztási axióma?
Tétel
TFH. az \(A,B \in \R\) halmazokra teljesül: - \(A \ne \emptyset\) és \(B \ne \emptyset\) - \(\forall a \in A, \forall b \in B: a \le b\) Ekkor:
\[
\exists \xi \in \R\,:\quad \forall a \in A\,:\,\forall b \in B\,:\;a \le \xi \le b
\]