(21-34) Függvények
21. Deniálja halmaznak függvény által létesített képét
Legyen \(f:A\rightarrow B\) egy adott függvény és \(C \subset A\). Ekkor a \(C\) halmaz \(f\) által létesített képe:
\[ f[C]:=\Big\{f(x)\,|\, x \in C\Big\} = \Big\{y \in B\,|\,\exists x \in C\,:\; y = f(x)\Big\} \subset B \]Megállapodunk abban, hogy \(f[\emptyset] = \emptyset\).
22. Deniálja halmaznak függvény által létesített ősképét
Legyen \(f : A \rightarrow B\) egy adott függvény és \(D \subset B\). Ekkor a \(D\) halmaz \(f\) által létesített ősképe:
\[ f^{-1}\left[D\right]:=\Big\{x \in \mathcal{D}_f\,|\;f(x)\in D\Big\}\subset A \]Megállapodunk abban, hogy \(f^{-1}[\emptyset] = \emptyset\)
23. Mi a deníciója az összetett függvénynek?
TFH. \(\quad f : A \rightarrow B \quad\text{és}\quad g : C \rightarrow D\) olyan függvények, melyekre
\[ \big\{x\in\mathcal{D}_f\,|\;g(x)\in \mathcal{D}_f\big\} \ne \emptyset \]Ebben az esetben \(f\) és \(g\) összetett függvénye:
\[ f\circ g\,:\;\big\{x\in\mathcal{D}_g\,|\;g(x)\in\mathcal{D}_f\big\} \rightarrow B, \qquad\Big(f\circ g\Big)(x) := f\Big(g(x)\Big) \]
24. Mi a deníciója a sorozatnak?
Az \(a\,:\;\N\rightarrow\R\) függvényt (valós) sorozatnak vagy számsorozatnak nevezzük.
\[ a(n) =: a_n\quad(n\in\N) \]Ez a helyettesítési érték a sorozat n-edik (vagy n-indexű) tagja, a tag sorszámát jelző szám a tag indexe.
25. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat felülről korlátos?
\[ \exists K \in \R\,:\;a_n\le K\quad(n\in\N) \]
26. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy valós sorozat felülről nem korlátos
\[ \forall K \in \R\,:\;a_n > K\quad(n\in\N) \]
27. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy valós számsorozat korlátos
\[ \exists K > 0\,:\;|a_n|\le K \]
28. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton növő?
\(\nearrow\;:\)
\[ a_n \le a_{n+1}\qquad \forall n \in \N \]
29. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton növő?
\(\uparrow\;:\)
\[ a_n < a_{n+1}\qquad \forall n \in \N \]
30. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat monoton csökkenő?
\(\searrow\;:\)
\[ a_n \ge a_{n+1}\qquad \forall n \in \N \]
31. Mikor mondja azt, hogy egy valós sorozat szigorúan monoton csökkenő?
\(\downarrow\;:\)
\[ a_n > a_{n+1}\qquad \forall n \in \N \]
32. Adja meg az \(a \in \mathbb{R}\) középpontú \(r > 0\) sugarú környezet fogalmát
\(K_r(a):=\Big\{x\in\R\,\big|\;|x-a_n|<r\Big\}\)
33. Adja meg a \(+\infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének a fogalmát
\[ K_r(+\infin):=\left(\frac{1}{r},+\infin\right) \]
34. Adja meg a \(-\infin\) elem \(r > 0\) sugarú környezetének a fogalmát
\[ K_r(-\infin):=\left(-\infin,-\frac{1}{r}\right) \]