(35-48) Konvergencia
35. Mit ért azon, hogy egy számsorozat konvergens?
\[ \exists A \in \R \,:\; \forall \varepsilon > 0\,:\; \exists n_0 \in \N\,:\;\forall n > n_0\,:\;|a_n - A| < \varepsilon \]
36. Mit ért azon, hogy egy számsorozat divergens?
Nem konvergens...
\[ \forall A \in \R \,:\; \exists \varepsilon > 0\,:\; \forall n_0 \in \N\,:\;\exists n > n_0\,:\;|a_n - A| \ge \varepsilon \]
37. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy egy számsorozat divergens
\[ \forall A \in \R \,:\; \exists \varepsilon > 0\,:\; \forall n_0 \in \N\,:\;\exists n > n_0\,:\;|a_n - A| \ge \varepsilon \]
38. Milyen állítást ismer sorozatok esetén a konvergencia és a korlátosság kapcsolatáról?
Ha az \((a_n)\) sorozat konvergens, akkor korlátos is.
39. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak \(+\infin\) a határértéke?
\[ \forall P > 0\,:\;\exists n_0\in\N,\,\forall n > n_0\,:\;a_n>P \]Jelölések:
\[ \lim(a_n)=+\infin \qquad \underset{n\rightarrow +\infin}{\lim} = +\infin \qquad a_n \rightarrow + \infin,\quad\text{ha}~~n \rightarrow + \infin \]
40. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak \(-\infin\) a határértéke?
\[ \forall P < 0\,:\;\exists n_0\in\N,\,\forall n > n_0\,:\;a_n < P \]Jelölések:
\[ \lim(a_n)=-\infin \qquad \underset{n\rightarrow +\infin}{\lim} = -\infin \qquad a_n \rightarrow - \infin,\quad\text{ha}~~n \rightarrow + \infin \]
41. Környezetekkel fogalmazza meg azt, hogy az (\(a_n\)) valós számsorozatnak (tágabb értelemben) van határértéke
\(a_n\) sorozatnak akkor van határértéke, ha:
\[ \exists A \in \overline{\R},\;\forall \varepsilon>0\,:\;\exists n_0\in \N,\;\forall n>n_0\,:\;a_n\in K_\varepsilon(A) \]
42. Hogyan deniálja egy sorozat részsorozatát?
Legyen \(a = (a_n):\N\rightarrow\R\) egy valós sorozat, és \(v=(v_n)\) egy szigorúan monoton növeketőd sorozat (indexsorozat).
Ekkor az (\(a_n\)) sorozat \(v\) indexsorozat által meghatározott részsorozata:
\[ \big(a\circ v\big)(n) = a(v_n) = a_{v_n}\quad(n\in\N) \]\[ a\circ v = a_{v_n} \]
43. Mit tud mondani konvergens sorozatok részsorozatairól?
Egy sorozatnak akkor és csak akkor van határértéke, ha minden részsorozatának van határértéke, és mindegyike ugyanahhoz a határértékhez tart.
44. Milyen tételt tud mondani valós sorozatok és monoton sorozatok viszonyáról?
Minden \(a = (a_n)\) valós sorozatnak létezik monoton részsorozata, azaz létezik olyan \(ν = (ν_n)\) indexsorozat, amellyel \(a \circ ν\) monoton növekedő vagy monoton csökkenő.
45. Mit értettünk egy valós sorozat csúcsán?
\(a_{n_0}\) az \((a_n)\) sorozat csúcsa, ha
\[ \forall n \ge n_0\,:\; a_n \le a_{n_0} \]
46. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet
TFH. \((a_n),\,(b_n)\,\text{és}\,(c_n)\) sorozatokra teljesül:
- \(\exists N \in \N,\;\forall n>N\,:\;a_n\le b_n\le c_n\)
- az \((a_n)\) és a \((c_n)\) sorozatnak van határértéke, továbbá
\[ \lim(a_n)=\lim(c_n)=A\in\overline{\R} \]Ekkor a \((b_n)\) sorozatnak is van határértéke és \(\lim(b_n) = A\)
47. Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, ill. határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között?
TFH. \((a_n)\) és \((b_n)\) sorozatnak van határértékük és
\[ \lim(a_n)=A\in\overline{\R}\qquad\lim(b_n)=B\in\overline{ \R} \]Ekkor
- \(A < B\quad\Longrightarrow\quad\exists N\in\N,\; \forall n > N\,:\;a_n<b_n\)
- \(\exists N\in\N,\;\forall n>N\,:\;a_n\le b_n\quad\Longrightarrow\quad A\le B\)
48. Igaz-e az, hogy ha az (\(a_n\)) és a (\(b_n\)) sorozatoknak van határértéke és \(a_n > b_n\) minden \(n\)-re, akkor \(\lim(a_n) > \lim(b_n)\)? A válaszát indokolja
Nem, a két sorozat tarthat ugyanoda, például:
\[ a_n:=\frac{1}{n}\qquad b_n:=-\frac{1}{n} \]Így
\[ a_n > b_n\qquad \lim(a_n) = \lim(b_n) = 0 \]