(49-63) Sorozatok összegzése
49. Mit tud mondani nullsorozatok összegéről?
THF. adott \(a_n\) és \(b_n\) nullsorozatok.
Ekkor \((a_n + b_n)\) is nullasorozat
50. Mit tud mondani korlátos sorozat és nullsorozat szorzatáról?
THF. adott \(a_n\) és \(b_n\) nullsorozatok.
Ekkor \((a_n * b_n)\) is nullasorozat
\[
\lor
\]
THF adott \(a_n\) nullasorozat és \(c_n\) korlátos sorozat
Ekkor \((a_n * c_n)\) is nullasorozat
51. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és} \quad\lim (a_n/b_n) = 7\)
\[
a_n := \frac{1}{n}\,;\;b_n:=\frac{1}{7n}
\]
\[
\lim(a_n)=0\,;\;\lim(b_n)=0
\]
\[
\lim\Big(\frac{a_n}{b_n}\Big) = \lim\Bigg(\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{7n}}\Bigg) = \lim \Bigg( \frac{1}{n} \cdot \frac{7n}{1}\Bigg) = \lim \bigg( \frac{7n}{n}\bigg) = 7
\]
52. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és} \quad\lim (a_n/b_n) = +\infin\)
\[
a_n = \frac{1}{n}\,;\; b_n=\frac{1}{n^2}
\]
\[
\lim(a_n)=0\,;\;\lim(b_n)=0
\]
\[
\lim\Big(\frac{a_n}{b_n}\Big) = \lim\Bigg(\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}\Bigg) = \lim\bigg(\frac{1}{n} \cdot \frac{n^2}{1}\bigg) = \lim\bigg(\frac{n^2}{n}\bigg) = \lim(n) = +\infin
\]
53. Mondjon példát olyan \((a_n), (b_n) : N \rightarrow R\) sorozatokra, amelyekre \(\lim(a_n) = 0,\quad\lim(b_n) = 0\quad \text{és a} \;\lim (a_n/b_n)\) határérték nem létezik
\[
a_n = \frac{1}{n}\,;\; b_n=0
\]
\[
\lim(a_n)=0\,;\;\lim(b_n)=0\,;\;\nexists\lim\Big(\frac{a_n}{b_n}\Big)
\]
54. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok összegéről?
\[
A=\lim(a_n)\,;\;B=\lim(b_n)
\]
\[
A\in\R,\; B\in\R \Longrightarrow \lim(a_n+b_n) = A+B
\]
55. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról?
\[
A=\lim(a_n)\,;\;B=\lim(b_n)
\]
\[
A\in\R,\; B\in\R \Longrightarrow \lim(a_n+b_n) = A\cdot B
\]
56. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról?
\[
A=\lim(a_n)\,;\;B=\lim(b_n)
\]
\[
A\in\R,\; B\in\R,\; B \ne 0 \Longrightarrow \lim(a_n+b_n) = \frac{A}{B}
\]
57. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről?
| Összeg | \(A \in \R\) | \(A = +\infin\) | \(A=-\infin\) |
|---|---|---|---|
| \(B\in \R\) | \(A+B\) | \(+\infin\) | \(-\infin\) |
| \(B = +\infin\) | \(+\infin\) | \(+\infin\) | \(\red{NINCS}\) |
| \(B = - \infin\) | \(-\infin\) | \(\red{NINCS}\) | \(A=-\infin\) |
58. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról?
| Szorzat | \(A<0\) | \(A=0\) | \(A>0\) | \(A = +\infin\) | \(A=-\infin\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(B>0\) | \(+\infin\) | \(-\infin\) | |||
| \(B=0\) | \(A\cdot B\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) | ||
| \(B<0\) | \(-\infin\) | \(+\infin\) | |||
| \(B=+\infin\) | \(+\infin\) | \(\red{NINCS}\) | \(-\infin\) | \(+\infin\) | \(-\infin\) |
| \(B=-\infin\) | \(-\infin\) | \(\red{NINCS}\) | \(+\infin\) | \(-\infin\) | \(+\infin\) |
59. Milyen állítást tud mondani (tágabb értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról?
| Szorzat | \(A<0\) | \(A=0\) | \(A>0\) | \(A = +\infin\) | \(A=-\infin\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(B>0\) | \(A/B\) | \(A/B\) | \(A/B\) | \(+\infin\) | \(-\infin\) |
| \(B<0\) | \(A/B\) | \(A/B\) | \(A/B\) | \(-\infin\) | \(+\infin\) |
| \(B=0\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) |
| \(B=+\infin\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) |
| \(B=-\infin\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(\red{NINCS}\) | \(\red{NINCS}\) |
60. Milyen tételt ismer monoton csökkenő sorozatok határértékével kapcsolatban?
Minden monoton sorozatnak van határértéke \(\Longrightarrow\) Minden monoton csökkenő sorozatnak van határértéke
61. Legyen \(q \in \mathbb{R}\). Mit tud mondani a (\(q^n\)) sorozatról határérték szempontjából?
\[
\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}q^n\begin{cases}=0 \\ =1 \\ = +\infin \\ \text{nem létezik} \end{cases}\quad \begin{array}{ccr} |q| &<& 1 \\ q &=& 1 \\ q &>& 1 \\ q &\le& -1 \end{array}
\]
62. Adja meg az \(e\) számot definiáló sorozatot
\[
\large{e} := \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{\large{n}}
\]
63. Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt, és adjon olyan eljárást, amivel ezek a számok nagy pontossággal előállíthatók
Newton-féle iterációs eljárás szerint:
Legyen \(A>0,\; A\in\R\) és \(m>2\;m\in\N\), Ekkor
- \(\exists!\alpha \in\R^+\,:\;\alpha^m=A\)
- \(a_n :=\begin{cases}a_0>0\,:\;\alpha\in \R \\ a_{n+1}:= \dfrac1m \bigg(\frac{A}{a_n^{m-1}}+(m-1)a_n\bigg)\quad(n\in\N)\end{cases}\)
- \(\alpha = \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim} a_n = \sqrt[m]{A}\)