(64-84) Végtelen sorok
64. Hogyan szól a BolzanoWeierstrass-féle kiválasztási tétel?
Minden, korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata.
65. Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak?
\[ \forall\varepsilon>0\,:\;\exists n_0 \in\N,\;\forall\,m,n>n_0\,:\;|a_n-a_m|<\varepsilon \]
66. Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között?
\((a_n)\) konvergens \(\Longleftrightarrow\) \((a_n)\) Cauchy-sorozat
67. Mi a végtelen sor deníciója?
\(s_n:=a_+a_1+a_2+\cdots+a_n\quad(n\in\N)\)
Jelölése:
\[ \sum a_n\quad\lor\quad\underset{n=0}{\sum}a_n\quad\lor\quad a_0+a_1+a_2+\cdots \]\(s_n\) a \(\sum a_n\) sor \(n\)-edik részletösszege
68. Mit jelent az, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét?
\[ \overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}a_n := \lim(s_n) \]
69. Milyen tételt ismer \(q \in \mathbb{R}\) esetén a \(\underset{n=0}{\sum}q^n\) geometriai sor konvergenciájáról?
Tetszőleges \(q^n\,:\;q\in\R\) sorozatból képzett \(\underset{n=0}{\sum}q^n\) mértani sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(|q|<1\), és ekkor összege:
\[ \underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}q^n = 1+q+q^2+q^3+\cdots=\frac{1}{1-q}\quad(|q|<1) \]Ha \(q\ge 1\), akkor \(\underset{n=0}{\sum}q^n\) sornak van összege, és \(\underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}q^n=+\infin\)
70. Mi a harmonikus sor, és milyen állítást ismer a konvergenciájával kapcsolatban?
\[ \underset{n=1}{\overset{+\infin}{\sum}}\frac1n \]Az említett sor divergens
71. Milyen állítást ismer a \(\sum\frac{1}{n^\alpha}\) hiperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban?
\[ \underset{n=1}{\sum}\frac{1}{n^\alpha} = 1 + \frac{1}{2^\alpha}+ \frac{1}{3^\alpha}+ \frac{1}{4^\alpha}+\cdots \]
- divergens, ha \(\alpha \le 1\), van összege, ami: \(\overset{+\infin}{\underset{n=1}{\sum}}\frac{1}{n^\alpha} = +\infin\)
- konvergens, ha \(\alpha > 1\)
72. Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra?
\(\sum a_n\) sor akkor és csak akor konvergens, ha
\[ \forall\varepsilon>0\,:\;\exists n_0\in\N,\;\forall\,m>n>n_0\,:\;|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m| < \varepsilon \]
73. Mondja ki a tanult szükséges feltételt arra nézve, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens legyen
Ha a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens, akkor az \((a_n)\) generáló sorozat nullasorozat, azaz \(\lim(a_n) = 0\)
74. Igaz-e az, hogy ha \(\lim(a_n) = 0\), akkor a \(\sum a_n\) sor konvergens? A válaszát indokolja
Nem. Például: \(a_n=\dfrac1n\).
\(\lim(a_n) = 0\), de \(\sum a_n\) divergens.
75. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumokat
Lenyenek \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) nemnegatív tagú sorok. TFH..
\[ \exists N\in\N,\;\forall\,n\ge N\,:\;0\le a_n\le b_n \]
- Majoráns kritérium:
- ha a \(\sum b_n\) sor konvergens, akkor \(\sum a_n\) sor is konvergens
- Minoráns kritérium:
- ha a \(\sum a_n\) sor divergens, akkor \(\sum b_n\) sor is divergens
76. Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek?
A \(\sum a_n\) sor abszolút konvergens, ha a \(\sum |a_n|\) sor abszolút sora konvergens
77. Mikor nevez egy végtelen számsort feltételesen konvergensnek?
A \(\sum a_n\) sor feltételesen konvergens, ha \(\sum a_n\) sor konvergens, de nem abszolút konvergens
78. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle gyökkritériumot
Legyen \(\sum a_n\) végtelen sor, és TFH.:
\[ A:= \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}\in\overline{\R} \]Ekkor:
- \(0 \le A < 1\,:\;\sum a_n\) sor abszolút konvergens
- \(A>1\,:\;\sum a_n\) sor divergens
- \(A=1\,:\;\sum a_n\) sor lehet konvergens is, divergens is
79. Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyökkritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Válaszát példákkal is illusztrálja
\(\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}=1\) esetén nem tudjuk az \((a_n)\) konvergenciáját meghatározni
Például:
\(f(x) := (-1)^n \qquad \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\sqrt[n]{|(-1)^n|}=1\)
Valamint
\(g(x) := 1^n \qquad \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim}\sqrt[n]{|1^n|}=1\)
\(f(x)\) divergens, míg \(g(x)\) abszolút konvergens
80. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó D'Alembert-féle hányadoskritériumot
Legyen \(\sum a_n\) végtelen sor, és TFH.:
\[ A:= \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim} \Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|\in\overline{\R} \]Ekkor:
- \(0 \le A < 1\,:\;\sum a_n\) sor abszolút konvergens
- \(A>1\,:\;\sum a_n\) sor divergens
- \(A=1\,:\;\sum a_n\) sor lehet konvergens is, divergens is
81. Mit jelent az, hogy a D'Alembert-féle hányadoskritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt
\(A:= \underset{n\rightarrow+\infin}{\lim} \Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|=1\) esetén nem tudjuk az \((a_n)\) konvergenciáját meghatározni
Például:
\(f(x) := (-1)^n \qquad\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim} \Big|\frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n}\Big|=1\)
Valamint
\(g(x) := 1^n \qquad\underset{n\rightarrow+\infin}{\lim} \Big|\frac{1^{n+1}}{1^n}\Big|=1\)
\(f(x)\) divergens, míg \(g(x)\) abszolút konvergens
82. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban?
\[ \underset{n=1}{\sum}a_n = a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots \]Váltakozó előjelű sor a Leibniz-típusú sor
Az említett sor akkor és csak akkor konvergens, ha \(\lim(a_n) = 0\)
83. Milyen hibabecslést tud adni a Leibniz-típusú sorok összegeire?
TFH. \(\underset{n=1}{\sum}(-1)^{n+1}a_n\) konvergens, és összege:
\[ A:=\underset{n=1}{\overset{+\infin}{\sum}}(-1)^{n+1}a_n \]Ekkor
\[ \Bigg|A-\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(-1)^{k+1}a_k\Bigg|\le a_{n+1} \qquad(n\in\N) \]
84. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens
\[ \underset{n=1}{\sum}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \]