(7-20) Halmazok
7. Mikor mondjuk azt, hogy egy \(H \subset \mathbb{R}\) halmaz induktív? Adjon egy példát induktív halmazra
A \(H \subset \R\) halmaz induktív, ha
- \(0 \in H\)
- \(\forall x \in H\,:\; x+1 \in H\)
8. Mondja ki tétel formájában a teljes indukció elvét
TFH. minden \(n\) természetes számra létezik egy \(A(n)\) állítás, és azt tudjuk, hogy:
- \(A(0)\) igaz
- ha \(A(n)\) igaz, akkor \(A(n+1)\) is igaz
Ekkor az \(A(n)\) állítás minden \(n\) természetes számra igaz
9. Mikor nevez egy \(\emptyset \ne A \subset \mathbb{R}\) halmazt felülről korlátosnak?
A nemüres \(H\subset \R\) halmaz felülről korlátos, ha
\[ \exists K \in \R\,:\;\forall x \in H\,:\;x\le K \]
10. Írja le pozitív állítás formájában azt, hogy egy \(\emptyset \ne A \subset \mathbb{R}\) halmaz felülről nem korlátos?
\[ \forall K \in \R\,:\;\exists x \in H\,:\;x>K \]
11. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy egy \(\emptyset \ne A \subset \mathbb{R}\) halmaz korlátos
Nemüres \(H\subset \R\) halmaz korlátos, ha felülről és alulról is az
\[ \exists K \in \R\,:\;\forall x \in H\,:\;|x| \le K \]
12. Fogalmazza meg a szuprémum elvet
THF. \(H \subset \R\)
- \(H \ne \emptyset\)
- \(H\) felülről korlátos
Ekkor
\[ \exists \min\,\{K\in \R\,|\, K\;\text{felső korlátja $H$-nak}\} \]
13. Mi a szuprémum deníciója?
A felülről korlátos \(\emptyset \ne H \subset \R\) számhalmaz legkisebb felső korlátját \(H\) szuprémumának nevezzük, és a \(\sup H\) szimbólummal jelöljük
14. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy \(\xi = \sup H \in \mathbb{R}\)
Legyen \(\emptyset \ne H \subset \R\) felülről korlátos halmaz. Ekkor:
\[ \xi = \sup H \begin{cases}\forall x \in H \,:\; x \le \xi \\ \forall \varepsilon > 0\,:\;\exists x \in H\,:\;\xi - \varepsilon < x \end{cases} \]
15. Mi az infimum deníciója?
A alulról korlátos \(\emptyset \ne H \subset \R\) számhalmaz legnagyobb alsó korlátját \(H\) infimumának nevezzük, és a \(\sup H\) szimbólummal jelöljük
16. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy \(\xi = \inf H \in \mathbb{R}\)
Legyen \(\emptyset \ne H \subset \R\) alulról korlátos halmaz. Ekkor:
\[ \xi = \sup H \begin{cases}\forall x \in H \,:\; \xi \le x \\ \forall \varepsilon > 0\,:\;\exists x \in H\,:\;x < \xi + \varepsilon \end{cases} \]
17. Mi a kapcsolat egy halmaz maximuma és a szuprémuma között?
\[ \exists \max H \quad\Longleftrightarrow\quad \sup H \in H \quad\Longrightarrow\quad \sup H = \max H \]
18. Mi a kapcsolat egy halmaz minimuma és az infimuma között?
\[ \exists \min H \quad\Longleftrightarrow\quad \inf H \in H \quad\Longrightarrow\quad \inf H = \min H \]
19. Írja le az arkhimédészi tulajdonságot
\[ \forall a > 0\,:\;\forall b \in \R\,:\;\exists n \in \N\,:\;b<n\cdot a \]
20. Mit állít a Cantor-tulajdonság?
THF. minden \(n\) természetes számra adott az \([a_n,b_n] \subset \R\) korlátos és zárt intervallum úgy, hogy
\[ [a_{n+1},b_{n+1}] \subset [a_n,b_n]\quad (n\in\N) \]Ekkor
\[ \underset{n\in\N}{\bigcap}[a_n,b_n] \ne \emptyset \]