(85-106) Hatványsorok
TODO 99,100,101,102,103
85. Mit értünk egy \([0, 1]\)-beli szám diadikus tört alakján?
\(\forall \alpha \in [0,1]\,:\;\exists\,(a_n)\,:\;\N^+\rightarrow \{0,\dots,p-1\}:\)
\[ \alpha = \underset{n=1}{\overset{+\infin}{\sum}}\frac{a_n}{p^n}\quad(p = 2) \]
\(\forall \alpha \in [0,1]\,:\;\exists\,(a_n)\,:\;\N^+\rightarrow \{0,1\}:\)
\[ \alpha = \underset{n=1}{\overset{+\infin}{\sum}}\frac{a_n}{2^n} \]
86. Melyik \([0, 1]\)-beli számoknak nincs egyértelmű diadikus tört alakja?
Minden számnak egyértelműen létezik diadikus tört alakja, maximum nem véges
87. Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelezését?
Legyen \(\underset{n=1}{\sum}a_n\) egy végtelen sor és \((m_n)\,:\;\N\rightarrow\N\) szigorúan monoton növekvő indexsorozat, ahol \(m_0:=0\).
Ekkor \(\underset{n=1}{\sum}a_n\) sor \((m_n)\) indexsorozattal meghatározott zárójelezése az:
\[ \alpha_n:=\underset{k=m_{n-1}+1}{\overset{m_n}{\sum}}a_k\qquad(n\in\N^+) \]által definiált \(\underset{n=1}{\sum}\alpha_n\) végtelen sor.
88. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor \(\sum \alpha_n\) zárójelezéseinek a konvergenciájáról?
Adott \((a_n)\) konvergens sor minden zárójelezése konvergens sor, összegük az eredeti sor összegével egyenlő.
89. Tegyük fel, hogy a \(\sum a_n\) végtelen sor valamely \(\sum \alpha_n\) zárójelezett sora konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a \(\sum a_n\) végtelen sor?
- a zárójelek hossza korlátos, azaz \((m_{n+1}-m)\) korlátos sorozat
- \(\lim(a_n) = 0\)
- a \(\underset{n=1}{\sum}\alpha_n\) sor konvergens
90. Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését?
Legyen \(\sum a_n\) egy adott végtelen sor. TFH \((p_n)\,:\;\N\rightarrow\N\) egy bijekció, Ekkor a \(\sum a_n\) sor \((p_n)\) által meghatározott átrendezése: \(\sum a_{p_n}\)
91. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően?
Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezése is abszolút konvergens sor, összege ugyanaz, mint az eredeti soré.
92. Milyen állítást ismer feltételesen konvergens sorok átrendezéseit illetően?
Legyen \(\sum a_n\) feltételesen konvergens sor, ekkor:
- minden \(A \in \overline{\R}\) esetén létezik olyan átrendezése, amelynek összege \(A\)
- van olyan átrendezése, aminek nincs összege
93. Deniálja a \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok téglányszorzatát
\[ \underset{n=0}{\sum}t_n,\qquad t_n:=\underset{\max{i,j}}{\sum}a_ib_j\qquad(n\in\N) \]
94. Deniálja a \(\sum a_n\) és \(\sum b_n\) végtelen sorok Cauchy-szorzatát
\[ \underset{n=0}{\sum}c_n,\qquad c_n:=\underset{i+j=n}{\sum}a_ib_j = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}}a_kb_{n-k}\qquad(n\in\N) \]
95. Milyen tételt ismer végtelen sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően?
Adott \(\underset{n=0}{\sum}a_n\) és \(\underset{n=0}{\sum}b_n\) konvergens végtelen sorok. Ekkor a \(\underset{n=0}{\sum}t_n\) téglányszorzatuk is konvergens, valamint:
\[ \overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}t_n = \overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}a_n \cdot \overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}b_n \]
Konvergens sorok téglányszorzata is konvergens, és a téglányszorzat összege a két sor összegének szorzatával egyezik meg.
96. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzataira vonatkozó tételt
TFH. a \(\underset{n=0}{\sum}a_n\) és \(\underset{n=0}{\sum}b_n\) végtelen sorok mindegyike abszolút konvergens
- \(\underset{n=0}{\sum}t_n\) téglányszorzata is abszolút konvergens
- \(\underset{n=0}{\sum}c_n\) Cauchy-szorzata is abszolút konvergens
- Az összes \(a_ib_j\,(i,j\in\N)\) szorzatból tetszőleges sorrendű és csoportosítású \(\underset{n=0}{\sum}d_n\) végtelen sor is abszolút konvergens, valamin:
\[ \overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}d_n=\overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}t_n=\overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}c_n=\Bigg(\overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}a_n\Bigg)\cdot\Bigg(\overset{+\infin}{\underset{n=0}{\sum}}b_n\Bigg) \]
97. Írja le a hatványsor denícióját
Az adott \((\alpha_n)\,:\;\N\rightarrow\R\) sorozattal és az \(a\in\R\) számmal képett hatványsor:
\[ \underset{n=0}{\sum}\alpha(x-a)^n = \alpha_0+\alpha_1(x-a)+\alpha_2(x-a)^2+\cdots\qquad(x\in\R) \]
98. Hogyan szól a hatványsor konvergenciahalmazára vonatkozó, a konvergenciasugarát meghatározó tétel?
Tetszőleges \(\underset{n=0}{\sum}\alpha_n(x-a)^n\) hatványsor konvergenciasugara e 3 eset egyike:
- \(\exists 0<R<+\infin\):
- \(\forall x \in\R\,:\;|x-a|<R\) pontban abszolút konvergens
- \(\forall x \in\R\,:\;|x-a|>R\) pontban divergens
- A hatbánysor, csak az \(x=a\) pontban konvergens. Ekkor \(R:=0\)
- A harvánsor abszolút konvergens \(\forall x\in\R\) esetén. Ekkor \(R:=+\infin\)
99. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1)\) intervallum
100. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \((−1, 1]\) intervallum
101. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1)\) intervallum
102. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a \([−1, 1]\) intervallum
103. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az a = 2 pontban konvergens
104. Deniálja az \(\exp\) függvényt
\[ e^x:=\exp x:=\exp(x):=\underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}\frac{x^n}{n!}\qquad(x\in\R) \]
105. Deniálja a \(\sin\) függvényt
\[ \sin x :=\sin(x):=\underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
106. Deniálja a \(\cos\) függvényt
\[ \cos x :=\cos(x):=\underset{n=0}{\overset{+\infin}{\sum}}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \]