Monoton növekvő sorozatok határértéke

TFH. az \((a_n)\) sorozat monoton növekvő és felülről korlátos.

Legyen

\[ A:=sup\{a_n|n\in\N\}\in\R \]

Ez azt jelenti, hogy \(A\) a szóban forgó halmaznak a legkissebb felső korlátja, azaz

\(\forall n\in\N\,:\;a_n\le A\)
\(\forall \varepsilon>0\)-hoz \(\exists n_0\in\N\,:\;A-\varepsilon<a_{n_0}\le A\)

Mivel feltételezésünk szerint az \((a_n)\) sorozat monoton növekvő, ezért az

\[ A-\varepsilon<a_n\le A \]

becslés is igaz minden \(n>n_0\) indexre.

Azt kaptuk tehát, hogy

\[ \forall\varepsilon>0\text{-hoz}\;\exists n_0\in\N\,:\;a_{n_0}>P \]

A monotonitás miatt ezért egyúttal az is igaz, hogy

\[ \forall n>n_0\,:\;a_n>P \]

És ez pontosan azt jeleni, hogy \(\lim(a_n)=+\infin\)

Megjegyzés. A tételben elég feltenni azt, hogy a sorozat egy küszöbindextől kezdve monoton, hiszen véges sok tag nem befolyásolja a határértéket.