5. gyakorlat
Komplex számok: 5-6. gyakorlat
Fontos
Fontos: \(i^2 = -1\)
- \(R_e \;\): Valós rész
- \(I_m \;\): Képzetes (imaginárius) rész
Algebrai alak
Algebrai alak: \(z = a + b*i\) alak
a: valós rész
b: képzetes (imaginárius) rész
Trigonometrikus alak
(Másik 2 tulajdonsággal jellemzi a komplex számot.)
Trigonometrikus alak: \(z = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)\)
r: hossz
\(\varphi\) [fí]: szög
"Megfeleltetés" az algebrai alakkal
\(r = | z | = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(a = r \cdot \cos \varphi\)
\(b \cdot i = r \cdot i \cdot \sin \varphi\)
Műveletek
Egyik szám: \(z = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)\)
Másik szám: \(w = s \cdot (\cos \theta + i \cdot \sin \theta)\)
Szorzás
\[
z \cdot w = r \cdot s \cdot \bigg(\cos (\varphi + \theta) + i \cdot \sin (\varphi + \theta)\bigg)
\]
Osztás
\[
\frac{z}{w} = \frac{r}{s} \cdot \bigg(\cos (\varphi - \theta) + i \cdot \sin (\varphi - \theta)\bigg)
\]
Hatványozás
\[
z^n = r^n \cdot \bigg(\cos( n \cdot \varphi) + i \cdot \sin (n \cdot \varphi)\bigg)
\]
Gyökvonás
\[
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot \bigg(\cos \frac{\varphi + 2 \cdot k \cdot \pi}{n} + i \cdot \sin \frac{\varphi + 2 \cdot k \cdot \pi}{n}\bigg)
\]