9. gyakorlat
Binomiális-tétel
Tétel
\[
(a + b)^n \, = \, \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} \cdot a^k \cdot b^{n-k}
\]
Példa feladat
Mi az együtthatója az alábbinak \(x^{97}\) esetén?
\[
(x^7 + 2x^3)^{27} \, =
\]
\[
= \, \sum_{k=0}^{27} {{27}\choose{k}} \cdot (x^7)^k \cdot (2x^3)^{27-k} \, =
\]
\[
= \, \sum_{k=0}^{27} {{27}\choose{k}} \cdot x^{7k} \cdot 2^{27-k} \cdot x^{81-3k} \, =
\]
\[
= \, \sum_{k=0}^{27} {{27}\choose{k}} \cdot 2^{27-k} \cdot x^{81+4k}
\]
\(k\) kiszámolása:
\[
81 + 4k = 97 \\ k = 4
\]
Együttható: \({{27}\choose{4}} \cdot 2^{23}\)
Végeredmény:
\[
{{27}\choose{k}} \cdot 2^{23} \cdot x^{97}
\]
Polinomiális-tétel
(In progress)
Szita-formula
\[
|A \cup B| \, = \, |A| + |B| - |A \cap B|
\]
\[
|A \cup B \cup C| \, = \, |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]