4. előadás tételei
Függvény kompozíció
Állítás
\[
\text{f és g függvény} \Rightarrow f \circ g \text{ is függvény, és } \forall x \in \text{dmn}(f \circ g)\text{: }
\]
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x))
\]
Bizonyítás: HF
Összetett függvényekkel kapcsolatos tételek
Állítás
-
\(\text{f injektív és g injektív} \Rightarrow f \circ g \text{ Injektív}\)
-
\(f: B \rightarrow C \text{ Szürjektív és } g:A \rightarrow B \text{ Szürjektív} \Rightarrow f \circ g: A \rightarrow C \text{ Szürjektív}\)
-
\(f: B \rightarrow C \text{ Bijektív és } g: A \rightarrow B \text{ Bijektív } \Rightarrow f \circ g: A \rightarrow C \text{ Bijektív }\)
Bizonyítás
Injektív
\[
f(g(x)) = f(g(t)) \xRightarrow{\text{f injektív}} g(x) = g(t) \xRightarrow{\text{ g injektív }} x = t \checkmark
\]
Szürjektív
\[
z \in C \xRightarrow{\text{f szürjektív}} \exists y \in B: f(y) = z \xRightarrow{\text{g szürjektív}} \exists x \in A: g(x) = y \Rightarrow f(g(x)) = z
\]
"Vizuális" "Reprezentáció"
\[
\text{Bijektív} \checkmark
\]