5. előadás tételei
Komplex számok
Abszolút és konjugált tulajdonsága
Állítás
\[
\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}
\]
\[
\overline{z-w} = \overline{z} - \overline{w}
\]
\[
\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}
\]
\[
\overline{\overline{z}} = z
\]
\[
z \cdot \overline{z} = (a+bi) \cdot (a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2
\]
\[
|z \cdot w| = |z| \cdot |w|
\]
\[
z + \overline{z} = 2 \cdot Re(z)
\]
\[
z - \overline{z} = 2 \cdot Im(z) * i
\]
Háromszög egyenlőtlenség: $$ |z + w| \leq |z| + |w| $$
\[
z \neq \gamma \text{:}
\]
\[
\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}
\]
Bizonyítás: A többség triviális (lol)
\[
|z \cdot w| = |z| \cdot |w|
\]
\[
|(a+bi)\cdot(c+di)| \stackrel{\text{?}}{=} \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2}\quad\quad\quad /(...)^2
\]
\[
|(a+bi)\cdot(c+di)| = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2}
\]
\[
a^2c^2 - \sout{2acbd} + b^2d^2 + a^2d^2 + \sout{2adbc} + b^2c^2 \stackrel{\text{?}}{=} (a^2+b^2) \cdot (c^2+d^2)\quad\checkmark
\]
\[
z \cdot \overline{z} = |z|^2
\]
\[
|z + w| \stackrel{\text{?}}{\leq} |z| + |w|
\]
\[
|z+w|^2 \stackrel{\text{?}}{=} |z|^2 + 2 \cdot |z| \cdot |w| + |w|^2
\]
\[
(z+w)(\overline{z}+\overline{w}) \stackrel{\text{?}}{\leq} z \cdot \overline{z} + 2 \cdot |z| \cdot |w| + w \cdot \overline{w}
\]
\[
\sout{z \cdot \overline{z}} + w \cdot \sout{\overline{w}} + z \cdot \overline{w} + \overline{z} \cdot w \leq \sout{z \cdot \overline{z}} + w \cdot \sout{\overline{w}}
\]
\[
z\cdot \overline{w} + \overline{z \cdot \overline{w}} \leq 2 \cdot |z \cdot \overline{w}|
\]
Legyen: $$ z \cdot \overline{w} = S $$
Ekkor: $$ S + \overline{S} \leq 2 |S| $$
\[
Re(S) \leq |S| \quad\quad\checkmark
\]
"Vizuális" "Reprezentáció"
Szorzás Moivre-féle képlete
Állítás
\[
\text{Ha } z= r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha)
\]
\[
w = s \cdot (\cos \beta + i \cdot \sin \beta)
\]
\[
z \cdot w = r \cdot s \cdot(\cos (\alpha + \beta) + i \cdot \sin (\alpha + \beta))
\]
Bizonyítás
Fontos a bizonyításhoz (Triviális, de biztonság kedvéért iderakom): $$ i^2 = -1 $$
\[
(\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha) \cdot (\cos \beta + i \cdot \sin \beta) \stackrel{\mathbb{C}\text{ osztói}}{=} (\cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta) + (\cos \alpha \cdot \sin \beta + \sin \alpha \cdot \cos \beta) \cdot i = \cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha + \beta) \cdot i \quad \checkmark
\]