6. előadás tételei
Komplex Számok
Komplex számok n-edik hatványára vonatkozó tétele
Állítás
\[
\text{Ha } z \neq 0
\]
\[
z = r \cdot (\cos \gamma + i \cdot \sin \gamma) \text{, } n \in \mathbb{N}^+ \text{, akkor azok a } w \in \mathbb{C} \text{ értékek, melyekre} w^n = z \text{, a következők (n db): }
\]
\[
w = \sqrt[n]{r} \cdot \left(\cos \frac{\gamma + 2k\pi}{n} + i \cdot \sin \frac{\gamma + 2k\pi}{n}\right)
\]
\[
k = 0,1,2...., n-1
\]
Bizonyítás
\[
\text{Ha } w^n = z \text{, és w trigonometrikus alakja: } w = s \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha) \text{, akkor} w^n = s^n \cdot (\cos n \cdot \alpha + i \cdot \sin n\cdot\alpha) = r \cdot (\cos \gamma + i \cdot \sin \gamma) = z
\]
\[
\iff
\]
\[
s^n = r
\]
és $$ n\cdot\alpha = \gamma + 2k\pi \text{, ahol } k \in \mathbb{Z} $$
\[
\alpha = \frac{\gamma+2k\pi}{n} \text{ bármilyen } k \in \mathbb{Z}
\]
\[
\text{De ha } k' = k +n \Rightarrow \alpha = \frac{\gamma + 2k\pi}{n}
\]
\[
\alpha' = \frac{\gamma + 2k'\pi}{n}
\]
Ugyanazt a w-t adja. $$ \Rightarrow \text{ elég a } k=0,1,2,..,n-1 \text{-et behelyettesíteni.} $$
Komplex szám n-edik gyöke \(v \cdot w_k\) alakú tétele
Állítás
Ha z-nek ismerjük egy n-edik gyökét: v akkor
\[
v^n = z \text{, akkor az összes (többi) n-edik gyöke: } v \cdot w_k \text{ alakú, ahol } w_k \text{ az n-edik egységgyök}
\]
Bizonyítás
\[
(v \cdot w_k)^n = v^n \cdot w_k^n = z \cdot 1 = z
\]
\(\epsilon \text{ egységgyökökre vonatkozó tétel}\)
\(\text{Állítás: Az alábbiak ekivalensek egy }\epsilon \text{ egységgyökre: }\)
-
\(\text{a, }\epsilon \text{ primitív n-edik egységgyök (rendje n)}\)
-
\(\text{b, }\epsilon \text{hatványai az összes n-edik egységyököt előállítják}\)
-
\(\text{c, }\epsilon^0, \epsilon^1,...\epsilon^{n-1} \text{ mind különböző}\)
Bizonyítás
\[
\text{c, } \Rightarrow \text{b, } (\epsilon^k)^n = (\epsilon^n)^k = 1 \text{, tehát } \epsilon^k \text{ is n-edik egységgyök, és ha mind különböző akkor megvan mind az n.}
\]
\[
\text{b, } \Rightarrow \text{ c, ha lenne két azonos katvány: } 0 \leq i < j \leq n-1:
\]
\[
\epsilon^i = \epsilon^j \Rightarrow \epsilon^{j-i} = 1 = \epsilon^0 \Rightarrow \epsilon^0, \epsilon^1, \epsilon^2, \ldots, \epsilon^{j-i} \text{, után az első (j-i) érték ismétlődik, CSAK (j-i) darab egységgyök áll elő.}
\]
\[
\text{a, } \Leftarrow \text{ c, Ha az első } \epsilon^0, \epsilon^1, ..., \epsilon^{n-1} \text{ mind különbözők, akkor} \epsilon^1 \neq \epsilon^0 = 1
\]
\[
\epsilon^2 \neq 1
\]
\[
\epsilon^3 \neq 1
\]
stb... $$ \Rightarrow \text{ n a legkisebb pozitív kitevő: } \epsilon^n = 1 $$
\[
\text{a, } \Rightarrow \text{ c, Ha nem lenne mind különböző: } \Rightarrow 0 \leq i < j \leq n-1
\]
\[
\epsilon^i = \epsilon^j \Rightarrow \epsilon^{j-i}=1 \text{, } j-i < n
\]
\[
\text{A rend } < n
\]
Ellentmondás.
Kombinatorika
Permutációk száma
Állítás: Egy n elemű halmaznak n! darab permutációja van
Bizonyítás
Indukció: n=0,1
\[
\text{Ha n-re igaz} \xRightarrow{\text{?}} n+1-re
\]
Legyen |A| = n+1, és képezzük az n+1 hosszú sorozatot
- Mi az utolsó eleme?
- n+1 féle eset
- Mi az első n eleme?
- A maradék n elem permutációja, Indukció: n! eset
\[
\Rightarrow \text{Az esetek száma: (n+1)} \cdot \text{n! = (n+1!)}
\]
Bizonyítás másképp
A permutációkra vezessünk be egy relációt
\[
PERM_1 \~{}\, PERM_2 \iff \text{ha az utolsó elem ugyanaz: Ekvivalencia reláció} \Rightarrow \text{Ekvivalencia osztály}
\]
|Permutációk| = |EKV.O osztály(n+1)| * (EKV. Mérete mérete n!)
Vagyis:
\[
(n+1) \cdot n! = (n+1)!
\]
"Vizuális" "Reprezentáció"
