Kihagyás

Tanulási segédlet

Kompozíció inverzének disztributivitása

\[ (R\circ S)^{-1} = S^{-1} \circ R^{-1} \]
  • Vedd külön a két relációt és tagjaikat, (ezen esetben a párokat)
  • \((c,a)\) eleme \((R\circ S)^{-1}\) ezért \((a,c)\) eleme \((R\circ S)\)
  • Kell létezzen egy köztes elem, amitől a kompozíció igaz, ebben az esetben \(b\)
  • \((a,b)\) eleme \(S\) és \((b,c)\) eleme \(R\)
  • Ezek inverzei \((b,a)\) és \((c,b)\) elemei \(S^{-1}\) és \(R^{-1}\)-nek
  • A kompozíció definíciója miatt \((c,a)\) eleme \(S^{-1} \circ R^{-1}\)

Relációk kompozíciójának asszociativitása

\[ (R\circ S)\circ T = R\circ (S\circ T) \]
  • Bonts szét a jobb és bal oldalt, vedd elő a köztes elemeket, és elvileg ugyanazt kell kapnod

Ekvivalenciarelációk és osztályozások közötti kapcsolatról szóló tétel

I don't get it :(

Összetett függvényekkel kapcsolatos tételek

  • \(\text{f injektív és g injektív} \Rightarrow f \circ g \text{ Injektív}\)

  • \(f: B \rightarrow C \text{ Szürjektív és } g:A \rightarrow B \text{ Szürjektív} \Rightarrow f \circ g: A \rightarrow C \text{ Szürjektív}\)

  • \(f: B \rightarrow C \text{ Bijektív és } g: A \rightarrow B \text{ Bijektív } \Rightarrow f \circ g: A \rightarrow C \text{ Bijektív }\)

Bizonyítás

Injektív

\[ f(g(x)) = f(g(t)) \xRightarrow{\text{f injektív}} g(x) = g(t) \xRightarrow{\text{ g injektív }} x = t \]

Szürjektív

Ha van egy \(z \in C\), akkor kell legyen egy \(y \in B\) ahol \(f(y) = z\), hiszen \(f: B \rightarrow C\)

Viszont, ha van egy \(y \in B\), akkor kell legyen egy \(x \in A\) ahol \(g(x) = y\), hiszen \(g: A \rightarrow B\)

Ezért, ha van egy \(z \in C\), akkor kell legyen egy \(x \in A\) ahol \(f(g(x)) = z\), hiszen \(f: B \rightarrow C\) és \(g: A \rightarrow B\)

Bijektív

Ez a kettő együtt, hiszen ha egy függvény injektív és szürjektív, akkor bijektív.

Szorzás Moivre féle képlettel

\[ \text{Ha } z= r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha) \]
\[ w = s \cdot (\cos \beta + i \cdot \sin \beta) \]
\[ z \cdot w = r \cdot s \cdot(\cos (\alpha + \beta) + i \cdot \sin (\alpha + \beta)) \]

Bizonyítás

  • Fogd ezt: \((\cos (\alpha + \beta) + i \cdot \sin (\alpha + \beta))\)
  • Szorozz keresztbe
  • Emeld ki i-t
  • Halj meg (also known as trigo azonosságok which you're too stupid for)

Komplex számok n-edik hatványa

\[ \text{Ha } w^n = z \]
\[ z = r \cdot (\cos \gamma + i \cdot \sin \gamma) \text{, } n \in \mathbb{N}^+ \]
\[ w = \sqrt[n]{r} \cdot \left(\cos \frac{\gamma + 2k\pi}{n} + i \cdot \sin \frac{\gamma + 2k\pi}{n}\right) \]
\[ k = 0,1,2...., n-1 \]

Bizonyítás

  • \(z = r \cdot (\cos \gamma + i \cdot \sin \gamma)\)
  • \(w = s \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha)\)
  • \(w^n = s^n \cdot (\cos (n \cdot \alpha) + i \cdot \sin (n \cdot \alpha))\)
  • Elmékeztető: \(w^n = z\)
  • Tehát \(s^n = r\) és \(n \cdot \alpha = \gamma + 2k\pi\)
  • Rendezz át
  • \(s = \sqrt[n]{r}\) és \(\alpha = \frac{\gamma + 2k\pi}{n}\)

Komplex szám n-edik gyöke \(v \cdot w_k\) alakú

Ha \(z\)-nek ismerjük egy \(n\)-edik gyökét: \(v\), tehát \(v^n = z\)

Ebből következik hogy az összes többi n-edik gyöke \(v \cdot w_k\) alakú ahol \(w_k\) az n-edik egységgyök

Bizonyítás

  • Vegyük ezt a kifejezést: \((v \cdot w_k)^n\)

  • \(v^n = z\)

  • Minden egységgyökre igaz hogy \((w_k)^n=1\)

  • Tehát: \((v \cdot w_k)^n = v^n \cdot (w_k)^n = z \cdot 1 = z\)

\(\epsilon\) egységgyökre vonatkozó tétel

???

Permutációk számára vonatkozó tétel

Egy n elemű halmaz permutációinak száma \(n!\)

Bizonyítás

  • Indukció
  • \(n = 0\), \(n = 1\) esetben nyilvánvaló
  • Ha \(n\)-re igaz, \(n+1\)-re igazolandó
  • Legyen \(|A| = n+1\), és képezzünk \(n+1\) hosszú sorozatot
  • Az első elemet kiválasztjuk \(n+1\) féle módon
  • Az előtte lévő \(n\) elemet \(n!\) módon lehet (indukciós feltevés miatt)
  • Összesen \((n+1) \cdot n! = (n+1)!\) féle módon lehet