Előadás

Bizonyítással kért tételek ZH1

1. A deriválhatóság ekvivalens átfogalmazása lineáris közelítéssel.
2. A szorzatfüggvény deriválása.
3. A hányadosfüggvény deriválása.
4. A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel.
5. A Rolle-féle középértéktétel.
6. A Lagrange-féle középértéktétel.
7. A Cauchy-féle középértéktétel.
8. Nyílt intervallumon értelmezett deriválható függvények esetében a monotonitás és a derivált kapcsolata.
9. A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű elégséges feltétel.
10. A konvexitás jellemzése a deriváltfüggvénnyel.
11. A véges pontbeli 0/0 határérték esetre vonatkozó L’Hospital-szabály.
12. A Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal.

Bizonyítással kért tételek ZH2

TBD

Vizsgakérdések

Differenciálszámítás

1. Definiálja a valós számok halmazának részhalmazaira a belső pont fogalmát!
2. Definiálja a különbségihányados-függvény fogalmát!
3. Mikor mondja, hogy egy \(f \in \R \rightarrow \R\) függvény differenciálható valamely pontban?
4. Mi a kapcsolat a pontbeli differenciálhatóság és a folytonosság között?
5. Adjon példát olyan függvényre, ami az \(a \in \R\) pontban folytonos, de nem differenciálható!
6. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel?
7. Definiálja az érintő fogalmát!
8. Milyen tételt ismer két függvény összegének valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?
9. Milyen tételt ismer két függvény szorzatának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?
10. Milyen tételt ismer két függvény hányadosának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?
11. Milyen tételt ismer két függvény kompozíciójának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?
12. Milyen tételt tanult az inverz függvény differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?
13. Milyen állítást tud mondani hatványsor összegfüggvényének a deriválhatóságáról és a deriváltjáról?
14. Definiálja a jobb oldali derivált fogalmát!
15. Definiálja a bal oldali derivált fogalmát!
16. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény kétszer differenciálható egy pontban?
17. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény \(n\)-szer (\(2 \le n \in \N\)) differenciálható egy pontban?
18. Mondja ki a Rolle-tételt!
19. Mondja ki a Lagrange-féle középértéktételt!
20. Mondja ki a Cauchy-féle középértéktételt!
21. Mit ért azon, hogy az \(f \in \R \rightarrow \R\) függvénynek valamely helyen lokális minimuma van?
22. Mit ért azon, hogy az \(f \in \R \rightarrow \R\) függvénynek valamely helyen lokális maximuma van?
23. Hogyan szól a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel?
24. Adjon példát olyan \(f \in \R \rightarrow \R\) függvényre, amelyre valamely \(a \in \R\) esetén \(f \in D\left\{a\right\}, f'(a) = 0\) teljesül, de az \(f\) függvénynek az a pontban nincs lokális szélsőértéke!
25. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálható függvény monoton növekedésével kapcsolatban?
26. Milyen elégséges feltételt ismer differenciálható függvény szigorú monoton növekedésével kapcsolatban?
27. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálható függvény szigorú monoton növekedésével kapcsolatban?
28. Mit ért azon, hogy egy függvény valamely helyen jelet vált?
29. Hogyan szól a lokális minimumra vonatkozó elsőrendű elégséges feltétel?
30. Hogyan szól a lokális maximumra vonatkozó elsőrendű elégséges feltétel?
31. Írja le a lokális minimumra vonatkozó másodrendű elégséges feltételt!
32. Írja le a lokális maximumra vonatkozó másodrendű elégséges feltételt!
33. Mi a konvex függvény definíciója?
34. Mi a konkáv függvény definíciója?
35. Jellemezze egy függvény konvexitását az első deriváltfüggvény segítségével!
36. Jellemezze egy függvény konkávitását az első deriváltfüggvény segítségével!
37. Jellemezze egy függvény konvexitását a második deriváltfüggvény segítségével!
38. Jellemezze egy függvény konkávitását a második deriváltfüggvény segítségével!
39. Mi az inflexiós pont definíciója?
40. Mondja ki a konvexitás és az érintő kapcsolatára vonatkozó tételt!
41. Mondja ki a konkávitás és az érintő kapcsolatára vonatkozó tételt!
42. Írja le a \(\frac00\) esetre vonatkozó L’Hospital-szabályt!
43. Írja le a \(\frac{+ \infty}{+ \infty}\) esetre vonatkozó L’Hospital-szabályt!
44. Mi a kapcsolat a hatványsor összegfüggvénye és a hatványsor együtthatói között?
45. Hogyan definiálja egy függvény Taylor-sorát?
46. Fogalmazza meg a Taylor-formula Lagrange maradéktaggal néven tanult tételt!
47. Milyen elégsés feltételt ismer a Taylor-sornak a generáló függvényhez való konvergenciájával kapcsolatosan?

A határozatlan integrál (primitív függvények)

1. Definiálja a primitív függvényt!
2. Adjon meg olyan függvényt, amelyiknek nincs primitív függvénye!
3. Fogalmazza meg a primitív függvény létezésére vonatkozó szükséges feltételt!
4. Fogalmazza meg a primitív függvény létezésére vonatkozó elégséges feltételt!
5. Mit jelent egy függvény határozatlan integrálja?
6. Mit ért a határozatlan integrál linearitásán?
7. Mit mond ki a primitív függvényekkel kapcsolatos parciális integrálás tétele?
8. Hogyan szól a primitív függvényekkel kapcsolatos első helyettesítési szabály?
9. Fogalmazza meg a primitív függvényekkel kapcsolatos második helyettesítési szabályt!

A határozott integrál

1. Definiálja intervallum egy felosztását!
2. Mit jelent egy felosztás finomítása?
3. Mi az alsó közelítő összeg definíciója?
4. Mi a felső közelítő összeg definíciója?
5. Mi történik egy alsó közelítő összeggel, ha a neki megfelelő felosztást finomítjuk?
6. Mi történik egy felső közelítő összeggel, ha a neki megfelelő felosztást finomítjuk?
7. Milyen viszony van az alsó és a felső közelítő összegek között?
8. Mi a Darboux-féle alsó integrál definíciója?
9. Mi a Darboux-féle felső integrál definíciója?
10. Mikor nevez egy függvényt (Riemann)-integrálhatónak?
11. Hogyan értelmezi egy függvény határozott (vagy Riemann-) integrálját?
12. Adjon meg egy példát nem integrálható függvényre!
13. Mi az oszcillációs összeg definíciója?
14. Hogyan szól a Riemann-integrálhatósággal kapcsolatban tanult kritérium az oszcillációs összegekkel megfogalmazva?
15. Felosztássorozatok segítségével adja meg a Riemann-integrálhatóság egy ekvivalens átfogalmazását!
16. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények összegével kapcsolatban tanult tétel?
17. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények szorzatával kapcsolatban tanult tétel? 3
18. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények hányadosával kapcsolatban tanult tétel?
19. Milyen tételt tanult Riemann-integrálható függvény értékeinek megváltoztatását illetően?
20. Mit ért a Riemann-integrál intervallum szerinti additivitásán?
21. Hogyan szól az integrálszámítás első középértéktétele?
22. Fogalmazza meg a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-féle egyenlőtlenséget!
23. Mi a kapcsolat a monotonitás és a Riemann-integrálhatóság között?
24. Definiálja a szakaszonként monoton függvény fogalmát!
25. Definiálja az egyenletes folytonosság fogalmát!
26. Mondja ki az egyenletes folytonosságra igazolt Heine-tételt!
27. Mi a kapcsolat a folytonosság és a Riemann-integrálhatóság között?
28. Definiálja a szakaszonként folytonos függvény fogalmát!
29. Hogyan szól a Newton–Leibniz-tétel?
30. Definiálja az integrálfüggvény fogalmát!
31. Fogalmazza meg az integrálfüggvény folytonossáagára vonatkozó állítást!
32. Mondja ki az integrálfüggvény deriválhatóságára vonatkozó tételt!
33. Hogyan szól a parciális integrálásra vonatkozó tétel határozott integrálra?
34. Mi a helyettesítéses integrálás szabálya határozott integrálra?
35. Mikor mondjuk azt, hogy az \(f : \left[a, b\right] \rightarrow \R (a, b \in \R, a < b)\) függvény grafikonja rektifikálható?
36. Hogyan értelmezzük a folytonosan deriválható \(f : \left[a, b\right] \rightarrow \R (a, b \in \R, a < b)\) függvény grafikonjának az ívhosszát?
37. Adja meg az \(\overset{+ \infty}{\underset{0}{\int}} f\) improprius integrál definícióját!
38. Definiálja az \(f : \left[a, b\right) \rightarrow \R\) típusú függvényekre az \(\overset{b}{\underset{a}{\int}} f\) improprius integrál fogalmát!
39. Definiálja az \(f : \left(a, b\right] \rightarrow \R\) típusú függvényekre az \(\overset{b}{\underset{a}{\int}} f\) improprius integrál fogalmát!