ZH tételek no.1

Kotlin Wisdom

A jobb és balolbali határétékeknél a Lócsi által előző semesterben bemutatott, és a karon elfogadott alternatív jelölés van használva

\(\underset{x\to a+0}{\lim}\quad\text{helyett}\quad\underset{x\searrow a}{\lim}\)

Valamint

\(\underset{x\to a-0}{\lim}\quad\text{helyett}\quad\underset{x\nearrow a}{\lim}\)

Az alternatív jelöléshez fontos, hogy egy változó tartson az értékbe.

Például a \(\underset{\nearrow a}{\lim}\) nem helyes

A jelölés motivációja, hogy a derivált számításánál gyakori lesz jobb és/vagy baloldali határétéket venni, ahhoz viszont változó minden esetben lesz rendelve.

Az átláthatóság kedvéért van így használva, a bizonyításoknál a régi jelölés ugyanúgy elfogadott.

Lineáris közelítés

Tétel

Legyen \(f\in\R\rightarrow\R\) és \(a\in\text{int}\mathcal{D}_f\).

Ekkor \(f\in D\{a\} \Longleftrightarrow \begin{cases}\exists A \in \R~~\text{és}~~\exists\varepsilon:\mathcal{D}_f\rightarrow\R, \underset{a}{\lim}\;\varepsilon = 0 \\ f(x) - f(a) = A \cdot (x - a) + \varepsilon(x)(x - a) (x\in\mathcal{D}_f) \end{cases},\)

és \(A = f'(a)\)

Bizonyítás \(\Longrightarrow\)

\(f \in D \{x\} \Longrightarrow \underset{a \to a}{\lim}\;\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)\in \R \Longleftrightarrow \underset{x\to a}{\lim}\;\left(\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a)\right) = 0\)

\[ \varepsilon(x) := \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} - f'(a)\quad(x\in \mathcal{D}_f\;⧵\;\{a\}) \]

\(\underset{a}{\lim}\varepsilon = 0\;:\)

\[ f(x) - f(a) = f'(a) \cdot (x - a) + \varepsilon(x)(x - a)\quad(x\in \mathcal{D}_f) \]

Bizonyítás \(\Longleftarrow\)

\(\exists A \in \R, \exists\varepsilon:\mathcal{D}_f\rightarrow \R,\; \underset{a}{\lim}\varepsilon = 0\)

\[ f(x) - f(a) = A\cdot(x - a) +\varepsilon(x)(x - a)\quad (x\in \mathcal{D}_f) \]

\(f\in D\{a\}\;\;\land\;\; f'(a) = A\)

Szorzatfüggvény deriváltja

Tétel

\(f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g):\)

\(f\cdot g\in D\{a\}:\quad (f\cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)\)

Bizonyítás

Közös \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) és \(\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\) kialakítása

\[ \dfrac{(fg)(x) - (fg)(a)}{x - a} = \dfrac{f(x)\cdot g(x) - f(a)\cdot g(a)}{x - a}\overset{!}{=} \]

\[ \overset{!}{=}\dfrac{f(x)\cdot g(x) − f(a)\cdot g(x) + f(a)\cdot g(x) − f(a)\cdot g(a)}{x - a}= \]

\[ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot g(x) + f(a)\cdot\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\quad (x\in\mathcal{d}_{f\cdot g}⧵\{a\}) \]

\(g\in D\{a\}\quad\Rightarrow\quad g\in C\{a\}:\quad\;\underset{x\to a}{\lim}g(x)=g(a)\quad\Rightarrow\)

\[ \underset{x\to a}{\lim}\dfrac{(fg)(x) - (fg)(a)}{x - a}\\\\= \underset{x\to a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot \underset{x\to a}{\lim} g(x) + f(a) \cdot \underset{x\to a}{\lim}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\\\\= f'(a)\cdot g(a) + f(a)\cdot g'(a) \]

\(f\cdot g \in D\{a\}:\)

\((f\cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)\)

Hányadosfüggvény deriváltja

Tétel

\(f,g \in D\{a\}, a\in\text{int}(\mathcal{D}_f\cap\mathcal{D}_g), g(a) \ne 0:\)

\(\dfrac{f}{g}\in D\{a\}, \left(\dfrac{f}{g}\right)'(a)=\dfrac{f'(a)\cdot g(a)-f(a)\cdot g'(a)}{g^2(a)}\)

Bizonyítás

!!! tip "Közös A szorzáshoz hasonlóan

\(g\in D\{a\} \Longrightarrow g\in C\{a\}\)

\(g(a)\ne 0 \Longrightarrow \exists K(a)\subset \mathcal{D}_f:\quad g(x)\ne 0\;~(\forall x \in K(a))\;\Longrightarrow a\in \text{int}\mathcal{D}_{\frac{f}{g}}\;\)

\(\dfrac{f}{g}\) hányadosfüggvény deriváltja \(a\)-ban:

\[ \dfrac{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)-\left(\dfrac{f}{g}\right)(a)}{x-a} = \dfrac{\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{f(a)}{g(a)}}{x-a} = \]

\[ = \dfrac{1}{g(a)g(x)}\cdot\dfrac{f(x)\cdot g(a) - f(a)\cdot(x)}{x-a} = \]

\[ \dfrac{1}{g(a)g(x)}\left(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot g(a) - f(a)\cdot\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\right) \]

\(g\in C\{a\} \Longrightarrow\underset{x\to a}{\lim}g(x) = g(a) \ne 0:\)

\[ \underset{x\to a}{\lim}\dfrac{\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)-\left(\dfrac{f}{g}\right)(a)}{x-a}= \]

\[ =\dfrac{1}{g(a)\underset{x\to a}{\lim}g(x)}\left(\underset{x\to a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot g(a) - f(a)\cdot\underset{x\to a}{\lim}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)= \]

\[ =\dfrac{1}{g^2(a)}(f'(a)g(a) - f(a)g'(a)) \]

\(\dfrac{f}{g}\in D\{a\}:\)

\(\left(\dfrac{f}{g}\right)'(a)=\dfrac{f'(a)\cdot g(a)-f(a)\cdot g'(a)}{g^2(a)}\)

Lokális szélsőérték elsőrendű szükséges feltétele

Tétel

\(f:\R\rightarrow\R,a\in\mathcal{D}_f, f\text{-nek}\;a\text{-ban lokális szélsőértéke van}, f\in D\{a\}.\) Ekkor

\[ f'(a)=0 \]

Bizonyítás lokális maximummal

\(\exists r>0: \forall x\in(a-r,a+r):\;f(x)\le f(a)\Longrightarrow f(x) - f(a) \le 0\)

\[ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad(x\in \mathcal{D}_f\;⧵\;\{a\}) \]

Ha \(a<x<a+r\Longrightarrow x-a > 0\;\land\;f(x)-f(a)\le 0\Longrightarrow\)

\[ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0 \Longrightarrow \underset{x\searrow a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}= f_+'(a)\le 0 \]

Ha \(a-r<x<a\Longrightarrow x-a < 0\;\land\;f(x)-f(a)\le 0\Longrightarrow\)

\[ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0 \Longrightarrow \underset{x\nearrow a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}= f_-'(a)\ge 0 \]

\(f\in D\{a\}:\)

\[ \underbrace{f_-'(a)}_{\ge 0}=\underbrace{f_+'(a)}_{\le 0} =f'(a)=0 \]

Rolle féle Középérték

Tétel

\(Legyen a,b\in\R,\;a<b\quad Ekkor\)

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \\ f(a) = f(b)\end{drcases}\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; f'(\xi)= 0 \]

Bizonyítés Wierstrass-al

\(f\in C \left[a,b\right]\;\xRightarrow{\text{Weierstrass}}\; \exists \alpha,\beta \in \left[a,b\right]:\)

\[ f(\alpha)=\underset{\left[a,b\right]}{\min}f =: m \qquad f(\beta) = \underset{\left[a,b\right]}{\max}f =:M \]

eset: \(m = M\)

\(f\) állandó \(\quad\Longrightarrow\quad\forall\xi \in (a,b): f'(\xi) = 0\)

eset: \(m \ne M\)

\(f(a)=f(b)\quad\Longrightarrow\quad \alpha \in (a,b)\quad \lor \beta \in (a,b):\)

\(\exists \xi := \alpha \in \text{int}\mathcal{D}_f = (a,b)\)

Így \(f\)-nek \(\xi\)-ben lokális minimuma van.

\(f\in D\{\xi\} \Longrightarrow f'(\xi)=0\)

Lagrange féle Középérték

Tétel

Legyen \(a,b\in\R,\;a<b\quad\) Ekkor

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \end{drcases}\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; f'(\xi)= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Bizonyítás szelőkkel

Az \(\left(a,f\left(a\right)\right)\) és a \(\left(b,f\left(b\right)\right)\) pontokon átmenő szelő egyenes egyenlete:

\[ y=h_{a,b}(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) \]

\(F(x):=f(x)-h_{a,b}(x)\quad(x\in\left[a,b\right])\)

Igazoljuk, hogy F(x) Teljesíti Rolle feltételeit.

Valóban, hiszen \(f\) és \(h_{a,b}\) folytonosak, és deriválhatóak \(\[a,b\]\)-n, így a különbségük is...

\(F(a) = f(a)- h_{a,b}(a)= f(a)-f(a) = 0\)

\(F(b) = f(b)- h_{a,b}(b)= f(b)-\left(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)+f(a)\right) = 0\)

Tehát \(F(a) =F(b)\) is teljesül. Rolle tétel szerint kell csak eljárni...

\(F(a)=F(b)\quad\xRightarrow{Rolle\;k.t.}\quad\exists \xi\in(a,b):\)

\[ F'(\xi) = f'(\xi) - h'_{a,b}(\xi)=f'(\xi)- \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \]

\[ \Longrightarrow\qquad f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Cauchy féle középérték

Tétel

Legyen \(a,b\in\R,\;a<b\quad Ekkor\)

\[ \begin{drcases} f \in C\left[a,b\right] \\ f\in D\left(a,b\right) \\ \forall x\in (a,b) : g'(x)\ne 0\end{drcases}\;\Longrightarrow \exists \xi \in (a,b)\;:\; \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}= \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

Bizonyítás Rolle tétellel

Tip

\(g(a)\ne g(b)\)

Hiszen \(g(a) = g(b)\)-ből az következne, hogy a deriváltjuk nulla az \((a,b)\) legalább egy pontban. Ami csúnya dolog (a feltételünk szerinte egyenesen lehetetlen). Legyen inkább:

\(F(x):=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\left(g(x)-g(a)\right)\qquad\left(x\in\left[a,b\right]\right)\)

\(F\in C\left[a,b\right], F\in D\left(a,b\right), F(a)=F(b)=0\quad\xRightarrow{Rolle\;k.t.}\quad\exists \xi \in (a,b):\;F'(\xi)=0:\)

\[ 0=F'(\xi)= f'(\xi)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi) \]

\(g'(\xi)\ne 0\quad\Longrightarrow\quad\)

\[ \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

Monotonitás és a derivált kapcsolata

Tétel

Legyen \((a,b)\subset\R,\quad f\in D\left(a,b\right):\)

\(f\nearrow (a,b)\text{-n}\;\Longleftrightarrow\;f'\ge 0\;(a,b)\text{-n}\)
\(f' > 0\;(a,b)\text{-n}\;\Longrightarrow\;f'\uparrow(a,b)\text{-n}\)

Bizonyítás 1. \(\Longrightarrow\)

\(f\nearrow (a,b)\text{-n}, t\in(a,b):\)

\[ \dfrac{f(x)-f(t)}{x-t}\ge 0\quad (t < x < b) \]

Amit \(x-t>0\), és \(f(x)-f(t) \ge 0\). Plusz mivel \(f\) deriválható \(t\)-n...

\(f (x)-f(t) \ge 0,\;f\in D\{t\}:\)

\[ f'(t)=f_+'(t)= \underset{x\searrow t}{\lim}\dfrac{f(x)-f(t)}{x-t}\ge 0 \]

Bizonyítás 1. \(\Longleftarrow\)

\(\forall x \in (a,b): f'(x)\ge 0: x,y \in(a,b), x<y\;:\; f\in C\left[x,y\right], f\in D(x,y)\)

\[ \xRightarrow{Lagrange k.t.}\quad\exists\xi\in (x,y):\;\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(\xi)\ge 0 \Longrightarrow f(x)\le f(y) \]

\(f\nearrow (a,b)\text{-n}\)

!!! abstract "Bizonyítás Alkalmazzunk "éles" egyenlőséget 1. \(\Leftarrow\) irányban

Lokális szélsőérték elsőrendű elégséges feltétele

Tétel

\(-\infin<a<b<+\infin,\;f:(a,b)\to\R\)

\(f\in D (a,b)\)
\(\exists c\in(a,b):\; f'(c) =0\)
\(f'\) előjelet vált \(c\)-ben

Abstract

\(f'~~c\)-ben \((-,+)\) előjelvált \(\Longrightarrow\) Lokális minimum (\(\underset{c}{\lor}\))

\(f'~~c\)-ben \((+,-)\) előjelvált \(\Longrightarrow\) Lokális maximum (\(\overset{c}{\land}\))

Bizonyítás (azonnal a monotonitás és derivált kapcsolatából)

\(f~~c\)-ben \((-,+)\) előjelváltása van: \(\exists \delta > 0: f'<0~~(c-\delta,c)\)-n, \(f'>0~~(c,c+\delta)\)

Ezért \(f \downarrow \left(c,c+\delta\right]\)-n és \(f \uparrow \left[c-\delta,c\right)\)-n

\(\forall x \in (c-\delta,c+\delta): f(x) > f(c)\)

Tehát \(f\)-nek \(c\) szigorú lokális minimumhelye

!!! abstract "\((+,-)\) Hasonlóan igazolható. Meggondolandó :3

Kotlin

\(f:I\to\R, \forall a,b\in I,a<b:\)

\[ f(x)\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\quad\left(\forall x \in \left(a,b\right)\right) \]

Fordítva konkáv, szigorú relációnál szigorúan konvex/konkáv

Konvexitás deriváltfüggvénnyel

Tétel

\(T\subset\R,\;f\in D(I):\)

\[ f~\text{konvex}~I\text{-n}\quad\Longleftrightarrow\quad f'\;\nearrow\;I\text{-n} \]

Bizonyítás \(\Longrightarrow\)

\(u,v\in I,\;u<v,\;x\in(u,v),\;\)

Ha \(f\;\text{konvex}\;I\text{-n, Ekkor}\)

\[ f(x)\le \dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-u)+f(u)~~, \]

\[ f(x)\le \dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-v)+f(v)~~: \]

\[ \dfrac{f(x)-f(u)}{x-u}\le\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}\le\dfrac{f(x)-f(v)}{x-v} \]

Vegyük ki \(x\to u\) és \(x\to v\) határátmeneteket:

\[ f'(u)\le\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}\le f'(v) \]

Bizonyítás \(\Longleftarrow\)

Ha \(f'\;\nearrow\; I\)-n \(u,v\in I, u<v,x\in(u,v)\)

\(\xRightarrow{Lagrange k.t}\exists\xi_1\in(u,x),\exists\xi_2\in(x,v):\)

\[ f'(\xi_1)=\dfrac{f(x)-f(u)}{x-u}\;,\;f'(\xi_2)=\dfrac{f(v)-f(x)}{v-x} \]

Mivel \(f'\;\nearrow\;I\)-n

\(f'(\xi_1)\le f'(\xi_2):\)

\[ \dfrac{f(x)-f(u)}{x-u}\le \dfrac{f(v)-f(x)}{v-x} \]

Kis átrendezéssel:

\[ f(x)\le \dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-u)+f(u) \]

\(f\) konvex \(I\)-n